- •1. Комплексные числа (кч)
- •Комплексная плоскость.
- •Введение в математический анализ.
- •Счетное множество – это множество, элементы которого можно посчитать.
- •Кванторы
- •Функции делятся на 2 класса
- •Элементарные неэлементарные
- •П римеры:
- •Используем бином Ньютона для доказательства неравенства:
- •Тогда .
- •Пусть функция определенна в окрестности точки .
- •Производная параметрически заданной функции.
- •Теорема Рояля, теорема о корнях производных.
- •Пусть и гладкие в окрестности и
- •Треугольник Паскаля.
- •Монотонность.
- •Если в критической точке 2-ая производная больше нуля, то это точка минимума, а если в критической точке 2-ая производная меньше нуля, то это точка максимума.
- •Асимптоты
Функции делятся на 2 класса
Элементарные неэлементарные
(специальные)
Элементарные функции изучаются в школьной математике и делятся на:
-
Базисные
а) Степенные y = xn
б) Показательные y = ax
в) Тригонометрические y = sin x
-
Остальные:
f
X Y
f -1 (обратная функция)
Обратные показательным – логарифмические функции.
Обратные тригонометрическим – arc…
Пример:
y = f (g(x)) – сложная функция – композиция элементарных функций.
Элементарными функциями называются функции, полученные из элементарных базисных функций с помощью алгебраических операций и операций композиции.
Г(f) – график функции.
График функции есть множество точек (x, y), где y = f(x).
Общие свойства функций:
-
Четность –
-
Нечетность –
-
Периодичность –
Рисунок
f(x) – ограниченная сверху, если
f(x) – ограниченная снизу, если
f(x) – ограниченная, если
f(x) – монотонная, если она постоянно возрастает или постоянно убывает
Если y = f(x), то Д – область определения данной функции.
Свойства модулей суммы и разности:
Теория пределов
Число b называется пределом функции в точке а, если для любой – окрестности точки b существует – окрестность точки а.
– предел функции при , равный b.
Число b называется пределом функции при неограниченном возрастании аргумента . Для любого существует такое N, и если , то .
П римеры:
y = f(x) =
y = f(x) = x2
Пример:
y =, когда ,
Неопределенности.
Раскрытие неопределенностей.
Теорема об ограниченности функции, имеющей предел.
Если функция f(x) имеет предел в точке a ,то она ограниченна в некоторой окрестности точки a.
Доказательство:
Пусть , тогда , отсюда получаем . Обратное неверно.
Контрольный пример:
в окрестности точки 0.
– не существует.
Рис (необязательно).
Бесконечно малой величиной при называется функция, предел которой в точке a равен 0.
– бесконечно малая величина (б.м.в.).
-
– бесконечно малая величина при
-
– бесконечно малая величина при
Бесконечно большой величиной при называется функция неограниченно возрастающая.
– бесконечно большая величина (б.б.в.)
Любая бесконечно большая величина неограниченна.
Теорема о связи предела и бесконечно малой величины.
Если , то , где – бесконечно малая величина. Или .
Доказательство:
Допустим, что , тогда .
, значит , –
бесконечно малая величина.
Пример:
f(x) = x2 + 1
Теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой величиной.
Если – бесконечно малая величина при – бесконечно большая величина.
Если – бесконечно большая величина при – бесконечно малая величина.
Доказательство:
Допустим, что – бесконечно малая величина при , то , что . Значит
Следствие: и
Свойства бесконечно малых величин:
1) Алгебраическая сумма бесконечно малых величин есть бесконечно малая:
Доказательство:
или , значит – бесконечно малая величина.
2) Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию есть бесконечно малая: , где f(x) – ограниченная.
Доказательство:
, значит – бесконечно малая величина.
3) Частное от деления бесконечно малой величины на любую функцию, предел которой не равен 0, есть бесконечно малая: при и .
Теоремы о пределах.
Теорема 1. Предел суммы равен сумме пределов, если они существуют:
Доказательство:
Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:
Получаем
Теорема 2. Предел произведения равен произведению пределов, если они существуют:
Доказательство:
Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:
Получаем
Теорема 3. Предел частного равен частному пределов: . При условии: все пределы существуют и .
Доказательство:
Из теоремы о связи между пределом и бесконечно малой величиной следует:
Получаем
Теорема 4. Предел сохраняет знак неравенства.
Если .
Доказательство:
Следовательно,
Следствие:
Теорема 5. Если функция ограниченна и монотонна на (a, b), то она имеет предел:
Теорема 6. Критерий Коши.
Если ,
тогда и только тогда .
Приемы раскрытия неопределенностей.
1) Выделение общего множителя (для неопределенности ).
Пример:
2) Умножение на сопряженное выражение (для неопределенности ).
Пример:
3) Выделение главной части (для неопределенности ).
Примеры:
Теорема. Первый замечательный предел .
Доказательство (геометрическое):
Так как , то .
Следствия из теоремы:
1)
2)
3)
4)
5)
Теорема. Второй замечательный предел .
Доказательство:
Бином Ньютона.
, где .