Тема 6: Классическое определение вероятности.

Найти вероятность выпадения числа кратного 3 пи одном бросании игрального кубика.

Решение:

Событие А – выпадение числа, кратного 3. Этому событию благоприятствуют два исхода: числа 3 и 6, т.е. m=2. Общее число исходов состоит в выпадении чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, т.е. n=6. Очевидно, что эти события равновозможные и образуют полую группу. Тогда искомая вероятность, по определению, равна отношению числа благоприятствующих исходов к числу всех исходов:

.

Ответ: .

Тема 7: Теоремы сложения и умножения вероятностей. Вероятность появления хотя бы одного события.

Вероятность попадания в мишень одного стрелка равно 0,65, а второго 0,6. Определить вероятность поражения мишени при одновременных выстрелах двух стрелков.

Решение:

Пусть событие А – попадание в мишень первым стрелком, В – попадание в мишень вторым стрелком.

Так как при стрельбе возможно попадание в мишень двумя стрелками, то эти события совместные, следовательно, применим теорему сложения совместных событий:

.

Так как события А и В независимые, то для нахождения применим теорему умножении независимых событий: .

Таким образом,

Ответ: 0,86.

Тема 8: Полная вероятность. Формула Байеса.

На склад ежедневно поступают детали с трех предприятий. С первого – 30 деталей, со второго – 20 и с третьего – 40. Установлено, что 2, 4 и 5% продукции этих предприятий, соответственно, имеют дефекты. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь дефектна.

Решение:

Обозначим: В – наугад взятая деталь дефектна;

А₁ – деталь изготовлена на первом предприятии;

А₂ - деталь изготовлена на втором предприятии;

А₃ - деталь изготовлена на третьем предприятии;

События А₁, А₂ и А₃ образуют полную группу несовместных событий и

Условные вероятности события В равны:

Тогда

Ответ: 0,0378.

Тема 9: Дискретные случайные величины.

Среди 10 лотерейных билетов имеется 4 билета с выигрышем. Наудачу покупают 2 билета. Написать закон распределения вероятностей числа выигрышных билетов среди купленных. Построить полигон распределения вероятностей. Составить интегральную функцию и построить ее график. Найти его числовые характеристики математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение).

Решение:

Пусть Х – случайная величина числа выигрышных билетов среди купленных двух билетов. Она может принимать значения: х₁=0, х₂=1, х₃=2. Для определения вероятностей появления каждого их этих значений воспользуемся формулой Бернулли:

,

где m= 0, 1, 2 – число выигрышных билетов среди наудачу купленных n=2 билетов;

N= 10 – всего имеющихся билетов;

M = 4 – число выигрышных билетов среди всех 10 билетов.

Вычисляем соответствующие вероятности:

Для проверки вычислений сложим:

Следовательно, искомый закон распределения имеет вид:

Х	0	1	2
Р

Полигон распределения вероятностей:

Составим интегральную функцию, используя ее определение:

Если , то , т.к. событие - событие невозможное.

Если , то , т.е. равно вероятности события X<1, которое может быть осуществлено, когда Х примет значение 0 с вероятностью , значит .

Если , то , т.е. равно вероятности события X<2, которое может быть осуществлено, когда Х примет значение 0 или значение 1.

Поскольку эти два события несовместны, то по теореме сложения вероятностей равно сумме вероятностей .

Если , то . ().

Итак,

Построим график интегральной функции. Он представляет собой разрывную ступенчатую линию.

Вычислим числовые характеристики:

а) математическое ожидание:

б) дисперсию . Для этого составим закон распределения квадрата случайной величины Х:

	0	1	4
Р

в) среднее квадратичское отклонение: