- •Глава 3 Векторная алгебра
- •§ 1. Определение вектора
- •§ 2. Линейные действия над векторами
- •§3. Линейная зависимость векторов. Базис на плоскости и в пространстве
- •§4. Проекция вектора на ось
- •§5. Разложение вектора на составляющие по осям координат
- •§6. Скалярное произведение векторов
- •§7. Векторное произведение векторов
- •§8. Смешанное произведение трех векторов
- •Сводная таблица основных понятий и формул по теме «Векторы»
- •Решение практических задач по теме «Линейные действия над векторами»
- •Решение практических задач по теме «Проекция вектора на ось. Скалярное и векторное произведение»
- •Решение практических задач по теме «Линейная зависимость векторов. Смешанное произведение»
- •Упражнения для самостоятельного решения.
Решение практических задач по теме «Линейные действия над векторами»
П р и м е р 1. Даны координаты двух точек А (1; 0; – 1) и В (1; 3; 3). Найти: 1.Координаты вектора .
2. Модуль вектора .
3. Направляющие косинусы вектора .
4. Синус угла между вектором и плоскостью хОу.
Решение.
1) Координаты вектора найдем с помощью формулы (4):
.
2) Модуль вектора вычислим по формуле
.
В данной формуле х, у, z – координаты вектора . Следовательно,
.
3) Направляющие косинусы можно найти по формулам (3)
.
Следовательно,
.
4) Синус угла между вектором и плоскостью хОу определим по формуле:
.
Ответ:
Решение практических задач по теме «Проекция вектора на ось. Скалярное и векторное произведение»
П р и м е р 2. Заданы два вектора и . Найти: 1. Координаты векторов и .
2. Скалярное произведение векторов и .
3. Косинус угла между векторами и .
4. Проекцию вектора на вектор и проекцию вектора на вектор .
5. Векторное произведение векторов и .
6. Площадь и высоты параллелограмма, построенного на векторах и .
Решение. 1) Координаты векторов и нетрудно найти, используя формулы (1):
.
Следовательно,
и .
Следует заметить, что векторы и геометрически представляют собой диагонали параллелограмма, построенного на данных векторах и .
2) Скалярное произведение векторов и вычислим по формуле (5):
3) Косинус угла между векторами и можно определить с помощью формулы (8)
4) Проекцию вектора на вектор найдем по формуле (
.
Аналогично вычислим проекцию вектора на вектор .
.
5) Векторное произведение векторов вычислим по формуле (10):
6) Площадь параллелограмма, построенного на векторах и определим, используя известный геометрический смысл векторного произведения. Отсюда искомую площадь параллелограмма найдем по формуле (9):
(кв. ед)
Ответ: 1) и ;
2) 12; 3) 0,48; 4) 2,4;
5) ; 6) 21,93 кв. ед.
Решение практических задач по теме «Линейная зависимость векторов. Смешанное произведение»
Пример 3. Заданы векторы , и . Требуется:
1. Проверить, компланарны ли векторы , , .
2. Проверить, коллинеарны ли векторы , .
3. Проверить, ортогональны ли векторы и .
4. Найти , ортогональный векторам и .
5. Объем пирамиды, построенный на векторах , и .
6. Вектор как линейную комбинацию векторов , и .
Решение. 1) Компланарность векторов можно проверить с помощью смешанного произведения, т. е. по формуле (12):
.
Следовательно векторы , , не компланарны.
2) Коллинеарность векторов проверим по формуле (10), но сначала найдем координаты векторов , по формуле (1):
.
Аналогично найдем :
.
Тогда
.
Следовательно векторы , не коллинеарны.
3) Ортогональность векторов и проверим по формуле (6):
.
Значит векторы не ортогональны.
4) Найти , ортогональный векторам и можно по формуле:
, где .
Следовательно,
.
5) Объем пирамиды, построенный на векторах , и численно равен абсолютной величине смешанного произведения этих векторов. Поэтому .
6) Для нахождения вектора как линейную комбинацию векторов , и необходимо разложить его по данным векторам как по базису. То, что векторы , и образуют базис, уже показано, так как смешанное произведение отлично от нуля.
Обозначим неизвестные координаты вектора в новом базисе – х, у, z. Тогда для их нахождения имеем следующую систему уравнений
,
где определитель матрицы системы равен 1.
Используем для решения системы уравнений формулу Крамера. Предварительно вычислим определители, полученные путем замены в определители А элементов первого столбца на соответствующие элементы столбца свободных членов рассматриваемой системы:
, , .
Тогда по формулам Крамера получим:
или вектор как линейная комбинация векторов нового базиса имеет следующий вид
.