§5. Разложение вектора на составляющие по осям координат

Рассмотрим прямоугольную систему координат в пространстве Оxyz.

На каждой из осей выберем единичный вектор, направление которого совпадает с положительным направлением оси. Так, на оси

Ох возьмем единичный вектор , на оси Оу – , а на оси Оz – ;

.

Эти три единичных взаимно перпендикулярных вектора называют ортами. Так как орты не компланарны, то

они образуют базис, который называется декартовым ортогональным базисом. Декартов базис называется правым, если направление кратчайшего вращения от вектора к вектору (при условии, что смотрят с конца вектора ) противоположно направлению вращения часовой стрелки. В противном случае базис называется левым.

Рассмотрим некоторый вектор в пространстве.

С помощью параллельного переноса отложим этот вектор от начала координат О, т. е. . Проведем через точку М три плоскости перпендикулярные осям координат Ох, Оу, Oz. По правилу сложения векторов:

. ( )

Векторы являются проекциями вектора на оси координат, следовательно, по определению имеем:

Обозначая проекции вектора на оси Ох, Оу, Oz соответственно через х, Y, z и подставив в формулу (1) получим

.

Данная формула называется разложением вектора на составляющие по координатным осям. Это равенство для краткости будем записывать следующим образом:

.

Определение 18. Проекции X, Y, Z называются прямоугольными декартовыми координатами вектора в пространстве.

Простые задачи на декартовы координаты

1. Если известны координаты векторов, то линейные операции над векторами можно заменить арифметическими действиями над их проекциями. Так, если

то ,

. (2)

2. Условие коллинеарности векторов. Если и , то тогда и только тога, когда выполняется условие:

(3)

(векторы когда пропорциональны их соответствующие координаты).

3. Зная проекции вектора , можно легко найти выражение для его модуля.

.

Итак, модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его координат.

4. Направляющие косинусы.

Определение 19. Пусть вектор помещен в прямоугольные декартовы координаты x, y, z.

Условимся обозначать: , , . Тогда cos α, cos β, cos γ называются направляющими косинусами данного вектора .

Пусть . Координаты вектора в декартовом базисе равны

. (4)

Возводя в квадрат и складывая, найдем зависимость между направляющими косинусами вектора :

cos²α + cos²β + cos²γ=1

Координаты единичного вектора в декартовом базисе равны его направляющим косинусам, т. е.

.

Направляющие косинусы вектора полностью определяют его направление, но ничего не говорят о его длине.

5. Определение координат вектора по заданным координатам его начала и конца. Пусть даны две точки А(х₁, у₁, z₁), В(х₂, у₂, z₂). Из определения проекции вектора на ось следует, что

. (5)

§6. Скалярное произведение векторов

Определение 20. Скалярным произведением векторов и называется скалярная величина, обозначаемая и равная произведению модулей векторов на косинус угла между ними, т. е.

. (6)

Свойства скалярного произведения

1. ;

2. ;

3. ;

4. . Условие перпендикулярности двух векторов;

5. – скалярный квадрат, .

Выражение скалярного произведения через координаты векторов. Пусть , тогда

(7)

(8)

(9)