Рівняння Максвела в комплексній формі записи
Якщо
проекції векторів поля
і
змінюються в часі по синусоїдальному
закону, причому фази всіх трьох прямокутних
проекцій однакові, тобто хвиля лінійно
поляризована, то рівняння Максвела
можна записати в комплексній формі.
Нехай вектор напруженості електричного
поля має проекції:
Комплексною
амплітудою вектору
назвемо вектор
Миттєве
значення вектору
.
Аналогічно можна записати комплексну амплітуду напруженості магнітного поля
І миттєве значення
Якщо в
рівняння Максвела підставити замість
і
величини
і
,
то отримане рішення буде більш загальним,
бо воно буде справедливо не тільки для
введених в рівняння фіктивних величин,
але і для дійсних. При цьому запис рівнянь
значно спроститься, бо
скоротиться.
Розглянемо перше рівняння Максвела
Підставивши
замість
величину
(фіктивна частина якої рівна
),
а замість
величину
,
отримаємо
Після
скорочення на
ми отримаємо перше рівняння Максвела
в комплексній формі запису
Аналогічно можна отримати і інші рівняння електромагнітного поля в комплексній формі запису.
Друге рівняння Максвела
А також
Вирішивши
ці рівняння і визначивши комплексні
амплітуди
і
,
легко знайти миттєві значення векторів
поля з співвідношень:
Якщо вектори поля міняються в часі по косинусоїдальному закону, то в цьому випадку
Вигода комплексної форми запису основних рівнянь поля полягає в тому, що час t виключається з цих рівнянь.
Повна система рівнянь електромагнітного поля
Отже, ми маємо наступну систему диференційних рівнянь електромагнітного поля, що дадуть просторово - тимчасовий опис електромагнітного процесу:
Електромагнітне
поле визначається чотирма векторами:
.
Для серед з постійною проникливістю ці вектори зв'язані співвідношеннями:
Тому при розрахунку достатньо визначити тільки два вектору.
Звичайно
визначають вектори
і
з рівнянь Максвела
;
Однак
для однозначності визначення
і
цих рівнянь недостатньо, вектор по
заданому ротору однозначно не визначається,
тому слід задати ще і дивергенцію
векторів
і
.
З теореми Гауса в диференційній формі
При
постійному значенні
,
Основна
якість магнітного поля - його
соленоїдальність (
)
дозволить визначити дивергенцію вектору
.
При постійному значенні
Отже, повна система рівнянь електромагнітного поля для серед з постійними параметрами
Запишеться наступним чином:
;
;
Ці рівняння подають собою основні рівняння електромагнітного поля для нерухомих серед.
При
рішенні конкретних задач повинні бути
враховані початкові і граничні умови
Наприклад, в момент
t=0
повинні бути задані значення векторів
і
в усіх точках об’єму
V,
в якому досліджується поле; крім того,
повинні бути відомі значення цих векторів
на граничній поверхні
S
на протязі усього проміжку часу від
0
до
t.
Фізичний зміст основних рівнянь електромагнітного поля полягає в тому, що магнітне поле завжди вихрове і збуджується воно як зарядами, що рухаються, так і електричним полем, що змінюється в часі. Електричне поле може бути вихровим, в цьому випадку воно збуджується магнітним полем, що змінюється в часі і безвихровим (якщо воно збуджується постійними в часі електричними зарядами).
Електричне і магнітне поле взаємозв’язані, вони подають собою різні вияви єдиного електромагнітного поля, що знаходиться в русі і несе з собою запас енергії:
