13. Окремі види електромагнітного поля
Рівняння
Макcвела
описують перемінне електромагнітне
поле як єдиний процес взаємозв'язку
зміни електричного
і магнітного
полів.
(1.39)
Для опису електромагнітних процесів у лінійних ізотропних і однорідних середах можна користуватися рівняннями:
В
залежності від швидкості зміни
і
розрізняють швидкозмінне (нестаціонарне),
квазістаціонарне, стаціонарне,
квазістатичне і статичні поля.
Швидкозмінне поле - поле, що швидко змінюється в часі; створюється перемінним струмом великої частоти. Таке поле описується всією системою рівнянь Максвела (1.39).
Квазістаціонарне поле - перемінне електромагнітне поле, яке із часом змінюється так повільно, що можна зневажити струмом зміщення в порівнянні з струмом провідності і ефектом запізнювання (ефектом випромінювання)
.
Внаслідок цього перше рівняння системи (1.39) можна переписати у вигляді
.
Більшість електромагнітних полів, досліджуваних в електротехніці, можуть розглядатися як квазістаціонарні.
Стаціонарне
поле - поле,
створюване
зарядами, що рівномірно рухаються, тобто
постійним струмом.
Вважаючи в рівняннях системи (1.39), що
,
а
диференціальні рівняння стаціонарного
поля мають вигляд
Окремими видами стаціонарного поля є електричне поле постійного струму і магнітне поле постійного потоку.
Квазістатичне
поле
- перемінне електромагнітне поле, у
якому можна прийняти
=0
і рахувати
поле потенційним, тому що
.
В ньому відсутній взаємний вплив
електричного і магнітного полів.
Диференціальні рівняння поля мають
вигляд:
Статичне поле - поле в просторі без струмів, незмінне у часі. Електричне поле, утворюване нерухомими зарядами, називається електростатичним. Магнітне поле, створюване зарядами, що рівномірно рухаються, але траєкторії яких не входять в область поля, зветься магнітостатичним.
Поклавши
в рівняннях
і
,
одержимо дві незалежних системи рівнянь:
електростатики
і магнітостатики
Визначення потенційних полів
Для
потенційних ( безвихрових ) полів лінійний
інтеграл по будь-якому
замкнутому контурі від вектора
напруженості електричного поля, а також
від вектора напруженості магнітного
поля в області,
не зайнятій
струмом,
дорівнює нулю. Тому потенційні поля
характеризуються скалярними функціями:
електричним потенціалом
електричного поля і магнітним потенціалом
- магнітного поля постійного потоку.
Потенційними полями є електростатичне, електричне постійного струму (поза джерелами), магнітне постійного потоку (поза області з струмом) і квазістатичне поля.
Квазістаціонарне
поле не є
потенційним, оскільки, згідно другого
рівняння Максвела,
і електричне і магнітне поля взаємозалежні.
Потенційні поля графічно представляють у вигляді картини поля - ліній вектора поля і еквіпотенціальних поверхонь (ліній).
14. Статичні поля
14.1. Рівняння електростатичного поля
Поле,
називане електростатичним, створюється
нерухомими зарядами. Електростатичні
поля, які створюють статичні заряди,
звичайно зосереджені на провідниках
і на діелектриках. Це можуть бути: а)
заряди надлишкові, тобто додані даному
тілу ззовні; при цьому створюється
заряджений провідник
або заряджений діелектрик, що несе заряд
;
б) заряди, індуційовані зовнішнім полем,
у яке внесене дане тіло; у цьому випадку
створюється відповідно поляризований
провідник
або поляризований діелектрик, причому
його заряд
.
Так як
в провідниках
завжди є вільні електрони, то в процесі
встановлення статичних зарядів у
провідному тілі виникає струм.
Протікає він доти, поки напруженість
електричного поля усередині провідника
не стане рівною нулю, а заряди розподіляться
по поверхні провідника,
створюючи навколо його в просторі
електростатичне поле. Умова
всередині провідника
відповідає відсутності руху
зарядів, тобто умові електростатичного
поля. На відміну від провідника,
всередині діелектрика
.
Електростатичне поле описується рівняннями
;
;
;
(1.40)
і задовольняє граничним умовам
(1.41)
Ці рівняння показують, що в електростатичному полі електричні силові лінії не замкнуті і спираються своїми кінцями на заряди.
Так як
- сила, що діє на одиничний заряд, що
знаходиться у даному полі, то при
переміщенні його уздовж шляху
робота сил поля дорівнює:
При
переміщенні одиничного заряду з точки
поля
в
точку
поля
повна робота
Так як
то
Тут
- потенціал поля в точці
,
- у точці
,
-
різниця потенціалів цих точок,
називана електричною напругою.
У багатьох
задачах,
пов'язаних
з електростатичним полем зарядів,
розташованих у кінцевій області
простору, потенціал нескінченно
віддаленої точки
зручно приймати рівним нулю. Тоді
електростатичний потенціал точки
т. ч. він визначається роботою на переміщення одиничного заряду з даної точки в нескінченність.
У області,
де існують заряди, потенціал
визначається рівнянням Пуасона
,
рішення якого має вигляд:
В області, де заряди відсутні, потенціал визначається рівнянням Лапласа
При вирішенні рівнянь Пуасона і Лапласа постійні інтегрування знаходять із забезпечення граничних умов, що утворюються з умов (1.41) і зводяться до наступного:
а) при переході через поверхню розділу двох серед потенціал залишається незмінним, тобто
у противному випадку напруженість поля, яка визначається похідною потенціалу по напрямку, оберталася б у нескінченність, що фізично неможливо;
б) на межі двох діелектриків
в) на межі провідник - діелектрик
У середі, що не містить зарядів, відповідно до формули (1.40) електростатичне поле описується системою рівнянь
Енергія
електростатичного поля, утворюваного
системою з
заряджених провідників
і об'ємним зарядом, розподіленим в
оточуючому їх діелектрику, визначається
наступним
виразом:
Відповідно до рівності
і теореми Остроградського-Гауса
,
де
- поверхня, що обмежує всю
систему;
- поверхня
-го
провідника.
З
огляду на попередні рівняння і рівняння
одержимо:
,
Якщо
заряд зосереджений тільки в цій області
(відокремлений заряд), то перший член
правої частини останньої рівності
дорівнює нулю (тому що в цьому випадку
інтегрування можна поширити на безмежний
простір і заряд цей можна розглядати
як крапковий). Дійсно, підставляючи під
знак інтеграла вирази
для
і
крапкового заряду й інтегруючи по
поверхні сфери, одержимо:
.
Тому
що на поверхні будь-якого
-го
провідника
(нормаль спрямована
усередину провідника)
і потенціал кожного провідника
постійний на всій його поверхні, то
,
де
і
- відповідно заряд і потенціал
-го
провідника.
Остаточний вигляд для енергії поля
.
Якщо
відстані між зарядами
достатньо великі, то їх можна розглядати
як крапкові.
Підкреслимо, що енергія, обумовлена цим виразом, ув'язнена не в самих зарядах, а в їхньому електричному полі і розподілена в навколишньому просторі. Перший доданок у правій частині цього виразу подає енергію поля заряду, розподіленого в діелектричній середі
,
а другий - енергію поля зарядів, розподілених на провідниках
.