Диференційні рівняння електромагнітного поля
Перше рівняння Максвела подає собою диференційну форму закону повного струму:
Перетворив
згідно теоремі Стокса циркуляцію вектору
,
отримаємо
Тоді можна записати рівність
Якщо ця рівність справедлива для всіх значень межі інтегрування S, то функції під інтегралами рівні і
Це рівняння називається першим рівнянням Максвела.
Якщо
щільність повного струму дорівнює сумі
щільності струму провідності
і щільності струму зміщення
,
то перше рівняння Максвела прийме
вигляд:
Для
середи з постійною діелектричної
проникливості
Фізичний зміст цього рівняння полягає у ствердженні, що вихрове магнітне поле збуджується як струмами провідності, так і електричним полем, що змінюється в часі.
Для
ідеальних діелектриків з провідністю
одержимо:
Перше рівняння Максвела встановлює залежність між зміною в часі напруженості електричного поля і зміною в просторі напруженості магнітного поля і вказує на те, що електромагнітне поле завжди знаходиться в русі.
Відомо,
що дивергенція ротора дорівнює нулю
,
тому і
.
Як було показано вище, ця умова завжди
виконується.
Друге рівняння Максвела подає собою диференційну форму закону електромагнітної індукції, згідно якому в витку при зміні зчепленого з ним магнітного потоку Ф наводиться Е.Р.С., яка дорівнює
Максвел узагальнив цей закон, вказавши, що магнітний потік, який змінюється в часі, збуджує електричне поле і за відсутності витка.
У полі з індукцією В магнітний потік скрізь довільну поверхню S, обмежену контуром L, дорівнює:
Якщо
напруженість електричного поля позначити
,
то наведена в контурі Е.Р.С.
Будемо рахувати, що поверхня S і контур L нерухомі і не деформуються, тоді
Позитивний напрям обходу контуру L і позитивне направлення нормалі до поверхні S обираються так, щоб вони утворили правогвинтову систему.
Поодинокі похідні введені тому, що Е.Р.С. може з’являтися не тільки за рахунок зміни магнітного потоку в часі, але і за рахунок руху або деформації контуру.
З теореми Стокса можна перетворити циркуляцію
Отже,
Рівність інтегралів справедлива для будь-якої поверхні S, тому вирази під інтегралами рівні і
Одержаний вираз називається другим рівнянням Максвела. Фізичний зміст його полягає у ствердженні, що магнітне поле, яке змінюється в часі, збуджує вихрове електричне поле.
Якщо
,
то лінії вектору
можуть бути замкнутими, причому вони
повинні охоплювати лінії вектору
.
Напрямки ліній векторів
і
вказані на рис.8 для випадку, коли
.
Рис.8
Нагадаємо,
що в електричному безвихровому полі
.
Лінії вектору
завжди розімкнені; вони розпочинаються
у позитивних зарядів і закінчуються у
негативних.
Для середи з постійною магнітною проникливістю друге рівняння Максвела прийме вигляд:
Друге рівняння Максвела встановлює залежність між зміною в часі напруженості магнітного поля і зміною в просторі напруженості електричного поля і також вказує на те, що електромагнітне поле завжди знаходиться в русі.
Третє рівняння Максвела, узагальнююче закон про переривчастість ліній електричної індукції, одержується з інтегрального рівняння (1.33) з використанням теореми Остроградського-Гауса:
Четверте рівняння Максвела, узагальнююче закон про безперервність лінії магнітної індукції, одержується аналогічним образом - з інтегрального рівняння (1.34) з використанням тієї же теореми:
П'яте диференційне рівняння, узагальнююче закон збереження заряду, одержується аналогічно - з інтегрального рівняння (1.35) з використанням теореми Остроградського - Гауса:
Для середи, що проводить останнє рівняння приймає вигляд
(1.36)
Це
означає, що поле вектору
соленоїдальне, тобто лінії струму
замкнуті. Дійсно, замінюючи ліву частину
рівності (1.36) з використанням виразів
знаходимо:
Рішенням цього рівняння є вираз
Що
означає, що в середі, що проводить, заряд
зменшується по експоненті і не залежить
від прикладеного поля
.
В провідниках, де
велика, заряди зникають надто швидко.
Час, на протязі якого щільність заряду
зменшується в
рази, називається часом релаксації. Для
металів час релаксації має порядок
сек..
Тому можна рахувати
і рівність (1.36) справедливою при змінному
полі з частотою
гц.