7. Рівняння електромагнітного поля Форми запису рівнянь Максвела

Рівняння Максвела є фундаментальними рівняннями електромагнітного поля. Ці рівняння можуть бути записані в інтегральній, диференційній і комплексній формі. Інтегральна форма запису рівнянь встановлює зв'язок між величиною в різних точках поля або на різних відрізках, поверхнях. Диференційна форма описує співвідношення між величиною поблизу однієї і тієї же точки поля в певний момент часу. Цю форму запису застосовують при дослідженні поля, що змінюються від точки до точки. Гармонійні електромагнітні поля ,що змінюються (проекції вектору на координатні осі є гармонійними функціями часу) зручно характеризувати рівняннями Максвела у комплексній формі.

Інтегральні рівняння електромагнітного поля

Експериментально встановлені наступні закони.

Закон про збудження магнітного поля струмами (Амперу) (закон повного струму):

(1.27)

Циркуляція напруженості магнітного поля по контуру дорівнює сумі струмів, що охоплюються цим контуром (рис.6). Це означає, що причиною магнітного поля є струм.

Рис.6

Закон електромагнітної індукції (Фарадея):

(1.28)

- циркуляція напруженості електричного поля по контуру дорівнює зміні потоку індукції Ф[[вб] крізь площу, обмежену цим контуром (рис.7). Це означає, що причиною вихрового електричного поля є зміна магнітного потоку.

Рис.7

Закон взаємодії електричних зарядів (Кулона):

(1.29)

- сила взаємодії зарядів обернено пропорційна квадрату відстані між ними.

В праві частини рівнянні (1.27) і (1.28) можуть бути зроблені підстановки

Що визначають електричний струм i і потік магнітної індукції Ф через дану поверхню S.

В загальному випадку праву частина рівняння (1.27) можна записати в вигляді

Підставляючи цей вираз в (1.27), одержуємо перше інтегральне рівняння електромагнітного поля:

(1.30)

Друге інтегральне рівняння електромагнітного поля має вигляд:

(1.31)

Вважаючи в виразі (1.29), що, і розглядаючи Q¹ як спробний заряд, можна визначити напруженість електричного поля , через заряд Q в точці розміщення ,що створюється спробним зарядом в вигляді

На підставі цього виразу, визначаючи потік електричної індукції через поверхню сфери радіусу r, можна написати рівняння

(1.32)

що виражає теорему Гауса: потік електричної індукції через замкнуту поверхню S дорівнює електричному заряду, розташованому в об’ємі, обмеженому цією поверхнею. В загальному випадку заряд можна представити у вигляді

- де[к/м³] - об'ємна щільність заряду. Підставляючи останній вираз до (1.32), одержуємо третє інтегральне рівняння

(1.33)

Що є узагальненням дослідницького факту про переривчастість електричних силових ліній на поверхні зарядів.

Використовуючи вираз (1.25), можемо написати:, бо . Отже,

На основі цього, застосовуючи теорему Остроградського-Гауса, одержуємо четверте інтегральне рівняння, що виражає безперервність ліній магнітної індукції:

(1.34)

Електричний струм визначається величиною заряду, крізь дану поверхню S в одиницю часу

Звідси можна написати інтегральне рівняння безперервності струму, що висловлює закон збереження заряду:

(1.35)