11. Теорема о єдиному рішенні рівнянь максвела

Покажемо, що якщо при вирішенні рівнянь Максвела для певних початкових і граничних умов одержані значення векторів поля і , то це рішення єдине.

Припустимо, що електромагнітне поле досліджується в певній області простору , що обмежена замкнутою поверхнею . Параметри постійні.

Початкові і граничні умови задані наступним чином. В момент вектори і задані в усіх точках області . На поверхні відомі дотичні складові одного з векторів поля (припустимо ) для всіх моментів часу від 0 до t.

Тоді рівняння Максвела однозначно визначають вектори і в будь-якій точці області і в будь-який момент t.

Припустимо противне, тобто, що існує друге рішення рівнянь Максвела, причому вектори поля і задовольняють перерахованим вище початковим і граничним умовам

Розглянемо два нових вектори

Очевидно, що і також є рішенням рівнянь Максвела, але початкові і граничні умови для них будуть дещо іншими. При в усіх точках області вектори і повинні дорівнювати нулю, бо в цей момент і _. На поверхні у всі моменти часу від 0 до t дотична складова вектору також повинна бути рівною нулю. Отже, вектор може мати на поверхні тільки нормальну складову.

Застосуємо до поля векторів і теорему Умова-Пойнтінга

На поверхні добуток

бо в будь-якій точці граничної поверхні напрям співпадає з нормаллю. Теорема Умова-Пойнтінга прийме вигляд

Перший доданок цього виразу дорівнює потужності теплових втрат і може бути тільки величиною позитивною або рівною нулю

Тоді повинна бути або негативною величиною (якщо зменшується), або рівною нулю (якщо ).

Згідно початковим умовам в момент в усіх точках розглядуваної області вектори поля є рівними нулю: .

Отже

Енергія негативних значень приймати не може, тому вона повинна залишатися постійно рівною нулю. Отже, вектори в будь-який момент і в будь-якій точці області . Це означає, що , тобто . Друге рішення співпадає з першим.

12. Запізнюючі або узагальнені електродінамічні потенціали

Для визначення векторів і по завданим зарядам і струмам необхідно вирішити повну систему рівнянь Максвела:

Будемо рахувати, що параметри середи постійні і задані, вектори і задані, величини і залежать від трьох просторових координат і часу.

Безпосереднє рішення рівнянь Максвела звичайно зв'язане з великими труднощами. Задачу можна спростити, якщо ввести допоміжні функції і просторових координат і часу, які називають узагальненими електродинамічними потенціалами. Визначивши їх, можна знайти вектори поля і .

Залежність між і , а також між і , встановлюється таким чином, щоб основні рівняння поля прийняли найбільш зручний для рішення вигляд. Покладемо,

,

що можливо, бо магнітна індукція - соленоїдальний вектор:

.

Для однозначного визначення вектору треба задати ще і його дивергенцію, яку підберемо пізніше і так, щоб спростити одержані вирази. Вектор будемо називати узагальненим векторним потенціалом.

Виразимо напруженість магнітного поля через векторний потенціал

.

Підставимо значення в друге рівняння Максвела

.

Замінивши послідовність диференціювання і скоротивши на , отримаємо

.

Або

Якщо ротор вектору дорівнює нулю, то він - потенційний вектор і можна знайти таку скалярну функцію , для якої цей вектор слугує градієнтом:

.

Величину назвемо узагальненим скалярним потенціалом.

Рівняннями

.

.

ми зв'язали вектори поля і з узагальненими потенціалами і .

Для визначення і використаємо інші рівняння електромагнітного поля.

Перше рівняння Максвела можна записати наступним чином:

.

Або

.

Позначимо і розгорнемо вираз ротора від ротора:

.

Або

Можна вибрати так, щоб рівняння спростилось. Приймемо:

.

Тоді векторний потенціал визначиться з рівняння

.

Якщо записати це векторне рівняння в прямокутній декартовій системі координат, то рахуючи, що

одержуємо три рівняння Даламбера для проекцій векторного потенціалу:

.

.

.

Якщо в рівняння підставити , то отримаємо:

,

,

.

Підставивши вираз , отримаємо:

.

Для визначення скалярного потенціалу, також слід вирішити рівняння Даламбера.

Ввівши узагальнені потенціали і , ми звели рівняння Максвела до чотирьох однакових рівнянь Даламбера і цим значно спростили завдання розрахунку електромагнітного поля. Отримавши узагальнені електродинамічні потенціали і , можно легко визначити вектори поля і .

Рішення рівнянь Даламбера можна записати в вигляді інтегралів

Щоб знайти скалярний потенціал в точці в момент , треба розбити об’єм на елементи , підрахувати заряд цих елементарних об’ємів

В момент (де - відстань від елемента об’єму до точки , а - швидкість розповсюдження електромагнітної енергії в діелектрикові з проникливостями .

Поділивши цей заряд на і взявши інтеграл по всім елементарним об’ємам , в яких є заряд з щільністю , ми отримаємо скалярний потенціал в даній точці в момент .

Аналогічно визначаються і проекції векторного потенціалу. Важливо відзначити, що зміна вільних об'ємних зарядів і струмів провідності в різноманітних точках поля відбивається не миттєво, а через деякий час , необхідний для того, щоб електромагнітна хвиля минула відстань . Тому потенціали і називаються запізнюючими.

В тих областях поля, в яких немає об'ємних зарядів і струмів провідності рівняння, що визначають узагальнені потенціали приймуть вид:

.

.

Ці співвідношення називаються хвильовими рівняннями При рішенні рівнянь Даламбера і хвильових рівнянь повинні бути враховані початкові і граничні умови для кожної конкретної задачі.