- •Часть 1 «Общая теория статистики»
- •Орел 2004
- •Содержание
- •Введение
- •Тема 1. Предмет, метод, задачи статистики
- •Тема 2. Статистическое наблюдение
- •В каких формах осуществляется наблюдение?
- •Тема 3. Статистические показатели
- •Решение типовых задач
- •Тема 4. Статистические таблицы. Графическое изображение статистических данных
- •Тема 5. Сводка и группировка в статистике
- •Решение типовых задач
- •Тема 6. Средние величины в статистике
- •Решение типовых задач
- •Тема 7. Показатели вариации и анализ частотного распределения
- •Решение типовых задач
- •Тема 8. Статистическое изучение динамики
- •Для чего нужно изучать динамику явлений?
- •Решение типовых задач
- •Тема 9.Индексы и их использование в экономико-статистическом анализе
- •Решение типовых задач
- •Тема 10. Выборочное наблюдение
- •Решение типовых задач
- •Тема 11. Статистическое изучение взаимосвязи социально-экономических явлений (корреляционно- регрессионный анализ)
- •Что собой представляет корреляционная связь?
- •Елисеева и.И. Статистические методы измерения связей. –л.: Изд-во лгу, 1982.
- •Решение типовых задач
- •Список рекомендуемой литературы
Решение типовых задач
Задача 1. Имеются экспериментальные данные исследования влияния времени вулканизации на сопротивление резины разрыву (табл. 1).Провести на основе данных исследование взаимосвязи сопротивления резины разрыву и времени её вулканизации; аналитическое выражение связи проверить на достоверность.
Таблица 1
№ анализа |
Время вулканизации (мин.), х |
Сопротивление разрыву, кг/см2 |
№ анализа |
Время вулканизации (мин.), х |
Сопротивление разрыву, кг/см2 |
1 |
35 |
162 |
8 |
33 |
160 |
2 |
40 |
174 |
9 |
36 |
167 |
3 |
30 |
155 |
10 |
31 |
153 |
4 |
42 |
172 |
11 |
36 |
163 |
5 |
37 |
173 |
12 |
43 |
173 |
6 |
38 |
166 |
13 |
39 |
168 |
7 |
34 |
162 |
14 |
44 |
176 |
Решение
Результативный признак – сопротивление разрыву (у),факторный признак – время вулканизации (х).
-
Первичная информация проверяется на однородность по признаку – фактору с помощью коэффициента вариации.
Для расчета использована вспомогательная табл. 2.
Таблица 2
№ анализа |
Время вулканизации (мин.), х |
№ анализа |
Время вулканизации (мин.), х |
||||
1 2 3 4 5 6 7 |
35 40 30 42 37 38 34 |
-2 +3 -7 +5 0 +1 -3 |
4 9 49 25 0 1 9 |
8 9 10 11 12 13 14 |
33 36 31 36 43 39 44 |
-4 -1 -6 -1 +6 +2 -7 |
16 1 36 1 36 4 49 |
Итого |
- |
- |
- |
- |
- |
0 |
240 |
Следовательно, совокупность можно считать однородной.
-
Проверка первичной информации на нормальность распределения с помощью правила «трех сигм» (табл. 3).
Таблица 3
Интервалы значений признака х, мин. |
Число единиц, входящих в интервал |
Удельный вес числа единиц, входящих в интервал, в общем их числе, % |
Удельный вес числа единиц, входящих в интервал, при нормальном их распределении, % |
32,29 – 41,1 28,8 – 45,2 24,7 – 49,3 |
9 14 14 |
64,3 100,0 100, |
68, 95.4 99.7 |
Интервалы для значений признака – фактора:
т.е. (37,0-4,1) - (37,0+4,1); (37,0-8,2)- (37,0+8,.2); (37,0-12,3)- (37,0+12,3).
Первичная информация по признаку – фактору не подчиняется закону нормального распределения, однако это не является основанием для отказа использования корреляционно – регрессионного анализа.
-
Исключение из первичной информации резко выделяющихся единиц, которые по признаку – фактору не попадают в интервал т.е. по имеющимся данным:
Резко выделяющихся единиц в первичной информации нет.
-
Для установления факта наличия связи производится аналитическая группировка по признаку – фактору. Группировка выполняется при равных интервалах и числе групп 4. Величина интервала определяется по формуле: где m – число групп. Величина интервала принимается равной 4, мин. Ниже построена групповая таблица (табл.4).
Таблица 4
Зависимость сопротивления резины разрыву от времени вулканизации
Время вулканизации, мин. |
Число анализов. |
Средняя величина сопротивления разрыву, кг/см |
|
30-34 34-38 38-42 42-46 |
3 5 3 3 |
468 827 508 521 |
156.0 165.4 169.3 173.7 |
итого |
14 |
2324 |
- |
Для заполнения групповой таблицы 4 была использована вспомогательная таблица 5.
Таблица 5
Время вулканизации, мин. |
30-34 |
34-38 |
38-42 |
42-46 |
№ анализа |
3,8,10 |
1,5,7,9,11 |
2,6,13 |
4,12,14 |
Сопротивление разрыву, кг/см |
155,160,153 |
162,173,162,167, 163 |
174,166,168 |
172,173,176 |
Как видно из данных групповой таблицы (см. табл. 4), с увеличением времени вулканизации возрастает величина сопротивления резины разрыву.
-
Для измерения степени тесноты связи используется линейный коэффициент корреляции:
Для расчета r использована вспомогательная таблица (табл.6).
Таблица 6
Вспомогательная таблица для расчета коэффициента корреляции и уравнения связи
№ анализа |
Время вулканизации (мин), х |
Сопротивление разрыву, кг/см,у |
х |
у |
ху |
() |
||
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 |
35 40 30 42 37 38 34 33 36 31 36 43 39 44 |
162 174 155 172 173 166 162 160 167 153 163 173 168 176 |
1225 1600 900 1764 1369 1444 1156 1089 1296 961 1296 1849 1521 1936 |
26244 30276 24025 29584 29929 27556 26244 25600 27889 23409 26569 29929 28224 30976 |
5670 6960 4650 7224 6401 6308 5508 5280 6012 4743 5868 7439 6552 7744 |
163.0 170.5 155.5 173.5 166.0 167.5 161.5 160.0 164.5 157.0 164.5 175.0 169.0 176.5 |
-1.0 +3.5 -0.5 -.1.5 +7.0 -1.5 +0.5 0.0 +2.5 -4.0 -1.5 -2.0 -1.0 -0.5 |
1.00 12.25 0.25 2.25 49.00 2.25 0.25 0.00 6.25 16.00 2.25 4.00 1.00 0.25 |
итого |
518 |
2324 |
19406 |
338645 |
86359 |
- |
- |
97.00 |
Значение линейного коэффициента корреляции (r=+0.925) свидетельствует о наличии прямой и очень тесной связи.
Средняя квадратическая ошибка коэффициента корреляции
По таблице значений α-процентных пределов tα,k в зависимости от k степеней свободы и заданного уровня значимости α для распределения Стьюдента определяется критерий t Стьюдента при Р=0,5 и k=14-2; =2,179.
(8.41>2.179).
Следовательно, можно утверждать существенность коэффициента корреляции.
6.Определяется модель связи. Используем функцию
Для возможности использования линейной функции определяется величина
, которая сравнивается с F – критерием.
Для расчета исчисляется корреляционное отношение
Следовательно, корреляционное отношение показывает наличие достаточно тесной связи.
=
При вероятности Р=0.95 () k и k. Так как меньше, то возможность использования линейной функции не опровергается.
Средняя квадратическая ошибка уравнения
(см. табл. 6). В формуле - значения результативного признака, рассчитанные по уравнению связи. Так, для анализа №1 ; для остальных анализов расчет выполняется аналогично. Результаты расчета записаны в табл.6.
Полученное отношение значительно меньше 15%. Поэтому уравнение достаточно хорошо отражает взаимосвязь двух признаков и может быть использовано в работе.