Решение типовых задач
Задача 1. По приведенным ниже данным о квалификации рабочих требуется вычислить показатели вариации. Тарифные разряды 24 рабочих цеха: 4;3;6;4;4;2;3;5;4;4;5;2;3;4;4;5;2;3;6;5;4;2;4;3.
Решение
Построим дискретный ряд распределения (табл.1).
Вычислим среднюю арифметическую взвешенную:
разряда.
Таблица 1
Распределение рабочих цеха по квалификации
|
Тарифный разряд, х |
Число рабочих,f |
Накопленная частота,S |
|
2 3 4 5 6 |
4 5 9 4 2 |
4 9 18 22 24 |
|
итого |
24 |
- |
К
показателям вариации относятся: среднее
линейное отклонение (
),
среднее квадратическое отклонение (
),
коэффициент вариации (v).
Для расчета показателей ряда распределения
удобно использовать вспомогательную
таблицу 2.
=
разряда;
разряда;
Таблица 2
Расчет показателей вариации
|
Тарифный разряд, х |
Число рабочих,f |
d=
x- |
|
|
|
2 3 4 5 6 |
4 5 9 4 2 |
-1,8 -0,8 +0,2 +1,2 +2,2 |
7,2 4,0 1,8 4,8 4,4 |
12,96 3,20 0,36 5,76 9,68 |
|
Итого |
24 |
|
22,2 |
31,96 |
Следовательно, индивидуальные значения отличаются в среднем от средней арифметической на 1.15 разряда, или на 30.3%.
Среднее квадратическое отклонение превышает среднее линейное отклонение в соответствии со свойствами мажорантности средних.
Значение коэффициента вариации (30.3 %) свидетельствует о том, что совокупность достаточно однородна.
Задача 2. Имеются следующие данные о возрастном составе рабочих цеха (лет): 18; 38; 28; 29; 26; 38; 34; 22; 28; 30; 22; 23; 35; 33; 27; 24; 30; 32; 28; 25; 29; 26; 31; 24; 29; 27; 32; 25; 29; 29. Для анализа распределения рабочих цеха по возрасту: построить интервальный ряд распределения; исчислить показатели вариации.
Решение Построим интервальный ряд распределения.(табл. 1)
Таблица 1
|
Группы рабочих по возрасту (лет), х |
Число рабочих, f |
Накопленная частота, S |
|
18-21 21-24 24-27 27-30 30-33 33-36 36-39 |
1 3 6 10 5 3 2 |
1 4 10 20 25 28 30 |
|
итого |
30 |
- |
Для расчета показателей вариации составляется вспомогательная таблица (табл.2)
Таблица 2
Вспомогательная таблица для расчета показателей вариации
|
Группы рабочих по возрасту, лет |
Центр
интервала, (лет), |
|
|
d=
|
|
|
|
|
18-21 21-24 24-27 27-30 30-33 33-36 36-39 |
19,5 22,5 25,5 28,5 31,5 34,5 37,5 |
19,5 67,5 153,0 285,0 157,5 103,5 75,0 |
1 3 6 10 5 3 2 |
-9,2 -6,2 -3,2 -0,2 2,8 5,8 8,8 |
9,2 18,6 19,2 20,0 14б0 17,4 17,6 |
84,64 115,32 61,44 0,40 39,20 100,92 154,88 |
84,64 38,44 10,24 0,04 7,84 33,64 77,44 |
|
Итого |
- |
861,0 |
30 |
- |
116,0 |
556,80 |
- |
-
=
года
года;
Следовательно, вариация возраста у рабочих данного цеха не является значительной, что подтверждает достаточную однородность совокупности.
Задача3. Имеются следующие данные о времени простоя автомобиля под разгрузкой(табл. 1)
Таблица 1
|
№ пункта разгрузки |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
Число грузчиков |
3 |
4 |
4 |
3 |
3 |
4 |
4 |
4 |
3 |
4 |
|
Время простоя, мин. |
12 |
10 |
8 |
15 |
19 |
12 |
8 |
10 |
18 |
8 |
Проверить закон сложения дисперсий
Решение
В
данной задаче варьирующим признаком
является время простоя автомобиля под
разгрузкой. Общая дисперсия времени
простоя под разгрузкой определяется
по формуле
Для расчета общей дисперсии составляется дискретный ряд распределения, промежуточные расчеты помещены в табл.2.
Таблица 2
Вспомогательная таблица для расчета общей дисперсии
|
Время простоя под разгрузкой (мин.т.),х |
Число
выполненных разгрузок,
|
|
|
( |
( |
|
8 10 12 15 18 19 |
3 2 2 1 1 1 |
24 20 24 15 18 19 |
-4 -2 0 3 6 7 |
16 4 0 9 36 49 |
48 8 0 9 36 49 |
|
Итого |
10 |
120 |
- |
- |
150 |
)
)
Величина этой дисперсии характеризует вариацию времени простоя под разгрузкой под влиянием всех условий. Различия в величине изучаемого признака прежде всего возникают под влиянием числа грузчиков, принимающих участие в процессе разгрузки. В связи с этим в совокупности выделяются две однородные группы по числу грузчиков: в первую группу включаются наблюдения при числе грузчиков 3; во вторую группу-при числе грузчиков 4. Для каждой из выделенных групп определяется внутригрупповая дисперсия, возникающая под влиянием неучтенных факторов. Для их расчета использованы табл. 3 и 4.
Таблица 3
Расчет внутригрупповой дисперсии по первой группе(число грузчиков -3)
|
Время простоя под разгрузкой (мин.т.),х |
Число
выполненных разгрузок,
|
|
|
( |
|
12 15 18 19 |
1 1 1 1 |
12 15 18 19 |
-4 -1 2 3 |
16 1 4 9 |
|
Итого |
4 |
64 |
- |
30 |
)
Таблица 4
Расчет внутригрупповой дисперсии по второй группе(число грузчиков -4)
|
Время простоя под разгрузкой (мин.т.),х |
Число
выполненных разгрузок,
|
|
|
( |
|
8 10 12 |
3 2 1 |
20 12 |
-1.33 0.67 2.67 |
5.31 0.90 7.13 |
|
Итого |
6 |
56 |
- |
13.37 |
)
24
Средняя
из внутригрупповых дисперсий:
Межгрупповая дисперсия, отражающая различия в величине признака под влиянием фактора, положенного в основу группировки, определяется по формуле:
Общая
дисперсия (
)
равна сумме средней внутригрупповой
дисперсии и межгрупповой дисперсии:
=4.3+10.7=15.0,
что и соответствует полученной ранее
величине.
Задача 4. Имеются следующие данные о результатах обследования рабочих предприятия по размеру месячной заработной платы. (табл.1)
Таблица 1
|
Группы рабочих по возрасту, лет |
Число рабочих |
Дисперсия заработной платы |
|
До 20 |
100 |
300 |
|
20-30 |
120 |
400 |
|
30 и старше |
150 |
500 |
Общая дисперсия в обследованной совокупности рабочих составила 450.Определить, в какой степени вариация заработной платы рабочих предприятия зависит от возраста.
Решение
Средняя внутригрупповая дисперсия характеризует случайную вариацию под влиянием неучтенных факторов:
Межгрупповая
дисперсия отражает систематическую
вариацию под влиянием фактора, положенного
в группировки (возраста рабочих).
Межгрупповая дисперсия определяется
по правилу сложения дисперсий:
=
-
=450-413.5=36.5.
Отсюда соотношение дисперсий:
:
=36.5:450=0.08,
или 8.0%. Поэтому возраст на варьирование
заработной платы рабочих предприятия
не оказывает существенного влияния.