Простейшее пуассоновское поле событий

Полем событий называется область пространства, в каждой части которой может произойти случайное число событий (попаданий осколков в уязвимый агрегат цели, противотанковых мин на траектории пересечения танком минного поля, наблюдаемых звезд на участке неба). Стохастически равномерное поле событий называется однородным. Среднее число событий в любой части однородного поля не зависит от формы выделенной части и расположения ее в поле, а пропорциональна мере этой части (объему, площади, длине). В ординарном поле вероятность наступления в бесконечно малой части поля двух и более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью наступления одного или ни одного события (бомбы в одно место дважды не попадают). Поле называют независимым, если на вероятность наступления в какой-то его части того или иного числа событий не влияет число событий в других частях поля.

Однородное, независимое, ординарное поле событий называется простейшим пуассоновским полем. В любой части однородного поля единичной меры в среднем появляется одно и то же число событий  (плотность поля). В произвольной области поля D в среднем появляется a =  mes(D) событий. Условия независимости и ординарности позволяют утверждать, что вероятность наступления k событий в области D однородного поля с плотностью  можно вычислять по формуле (2.13) с параметром a =  mes(D).

Иллюстрация статистически равномерного распределения

Статистически равномерное распределение 500 точек с независимыми случайными координатами в квадрате 1010 (рис. 2.4 а) формирует команда:

>> x=rand(1,500)*10;y=rand(1,500)*10;plot(x,y,'.'),grid on

Хотя никаких предпочтений при распределении точек нет, и на одну из 100 ячеек единичной площади приходится в среднем  = 500/10² = 5 точек, случайное количество точек в ячейках может сильно отличаться от среднего. Подсчитаем число точек в каждой ячейке, чтобы установить частоту событий A_k (k точек в ячейке), k = 0, 1, 2, …:

>> N=[];I=0:1:10;n=length(I)-1;

>> for i=1:n for j=1:n N(i,j)=sum(I(i)<x & x<I(i+1) & I(j)<y & y<I(j+1));end,end

>> for j=0:12 A(j+1)=sum(sum(N==j)); end, A

A = 1 5 8 11 19 18 13 12 6 4 1 1 0

Результат в массиве A показывает, что одна ячейка пустая, две содержат по одной точке, и т.д. Отношение элементов A к общему числу ячеек – это частота событий A_k. Графики частот(k) и вероятностей тех же событий p_k(k), вычисленных по формуле Пуассона, построим командой (рис. 2.4 б):

>> plot(t,p_Poisson(5,t),t,A(t+1)/n^2)

а б в

Рис. 2.4. Однородное (а) и неоднородное (б) пуассоновские поля

Близость эмпирических частот и вероятностей подтверждает применимость формулы Пуассона для вычисления вероятности событий A_k. Убедимся в ординарности поля, разделив его на еще более мелкие части:

>> N=[];I=0:0.1:10;n=length(I)-1;

>> for i=1:n for j=1:n N(i,j)=sum(I(i)<x&x<I(i+1)&I(j)<y&y<I(j+1));end,end

>> for j=0:12 A(j+1)=sum(sum(N==j)); end, A

A = 9511 478 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Из 10000 ячеек (не бесконечно малых) только в 11 попало две точки.