Пуассоновское поле событий

В пуассоновском поле выполняются условия независимости и ординарности, но плотность не одинакова в различных частях поля. Те же 500 точек, что и в предыдущем примере, распределены на рис. 2.4 в с плотностью (x, y) = x. Это поле сформировано командой, которая обеспечивает равномерное распределение в интервале [0, 1] ординат параболы на отрезке [0, 10] (теоретическое обоснование этой процедуры будет дано в Лекции 9):

>> x=sqrt(rand(1,500))*10;y=rand(1,500)*10;plot(x,y,'*'),grid on

Среднее число точек поля в вертикальных полосах единичной ширины должно быть примерно равным абсциссе середины полосы (0,5, 1,5 и т.д.):

>> N=[];I=0:1:10;n=length(I)-1; for i=1:n N(i)=sum(I(i)<x&x<I(i+1));end, A=N/10

A = 0.40 1.70 2.10 4.40 4.50 5.10 6.60 7.00 8.80 9.40

Среднее число событий в произвольной области D пуассоновского поля получается интегрированием плотности по этой области

,

(2.15)

где ds – бесконечно малая часть области D. Численное интегрирование необязательно. Учитывая дискретность поля событий, его плотность считают постоянной на малых, но конечных участках (проекциях УА). Тогда среднее число событий на i-й части, мера которой S_i, составляет a_i = _iS_i.

Координатный закон поражения

Событие поражения цели в осколочном поле связывают логической формулой с событиями поражения отдельных УА. Плотность поля в пределах каждого УА зависит от координат точки срабатывания в целевой системе координат x, так что среднее число осколков, попавших в i-й УА составит a_i(x) = _i(x)S_i. Каждый осколок, попавший в i-й УА, поражает его с вероятностью p_i, зависящей от массы осколка q и скорости соударения v. Заменив среднее число попаданий средним числом «поражающих» попаданий m_i(x) = a_i(x)p_i(q, v), выразим вероятность поражения i-о УА как вероятность хотя бы одного события в пуассоновском поле с плотностью m_i(x):

.

Если для поражения цели достаточно вывести из строя хотя бы один УА, формула поражения имеет вид A = A_i, условную вероятность поражения цели при фиксированных координатах срабатывания P(A/x, y, z) с учетом независимости поля можно выразить через g_i(x, y, z) по формуле (1.13):

,

(2.16)

где – среднее число попаданий в уязвимую площадь цели:

.

(2.17)

Функция G(x, y, z) = P(A/x, y, z) называется координатным законом поражения цели (КЗП).

Кзп в однородном поле

При небольших размерах цели может оказаться, что на всех УА плотность поля одинакова, тогда

,

(2.18)

где величина характеризует уязвимость цели (функция уязвимости). На рис. 2.5 а показаны проекции УА некоторой цели на картинную плоскость, перпендикулярную направлению разлета осколков.

а б

Рис. 2.5. Агрегатная модель цели в пуассоновском поле

Однородное поле с плотностью  = 50/10² = 0,5 сформируем командой:

>> x=rand(1,50)*10;y=rand(1,50)*10;plot(x,y,'.'),grid on

Изображение проекций УА выполнено методами классов Rect и PolyRect, упрощенно моделирующих агрегатную структуру цели (Семинар 2):

>> a=Rect(1.5,1);b=Rect(0.6,1.5);T=PolyRect(a,Place(a,a,1),Place(a*[0.5 1],a,2));

>> T=Add(T,Place(b,Memb(T,3),2),Place(b,Memb(T,2),3),Place(b,Memb(T,2),4));

>> T1=MoveTo(T,[5;5]);show(T1)

Предположим, что для поражения каждого УА достаточно попадания в него хотя бы одного осколка (p_i = 1, i), тогда КЗП можно вычислить как вероятность хотя бы одного попадания в простейшем пуассоновском поле с параметром a = S_i. Суммарную площадь проекций S_i вычисляет метод PolyRect\Area, ее нужно подставить в (2.18):

>> S=Area(T), W=1-exp(-0.5*S)

S = 6.4500 W = 0.9891