Построение кривой чувствительности

С помощью электронной формулы I_Binom легко построить кривую чувствительности. Сначала генерируем статистику по известному закону:

>> n=15;x=1:n;p=1./(1+exp(-x+6)).^2;N=500;S=[];Y=[];for i=1:n S(i)=Gen('bin',N,p(i));end

Рис. 2.4. Кривая чувствительности и доверительный интервал

По массиву частот срабатывания S вычислим нижние и верхние границы доверительного интервала для вероятностей срабатывания в каждой из n точек, в которых получены частоты:

>> for i=1:n Y(i,:)=I_Binom(S(i),N,0.99);end

Кривую чувствительности F(x) получим как среднюю линию доверительного интервала:

>> F=mean(Y,2);plot(x,Y(:,1),x,Y(:,2),x,F,x,S/N,'k.')

На рис. 2.4 показаны графики границ доверительного интервала, кривой чувствительности и статистических точек. Графики довольно точно воспроизводят исходную кривую чувствительности благодаря очень большому объему статистики (15500 точек). В физическом эксперименте объем получаемой статистики приходится ограничивать, что затрудняет выявление закономерностей.

Построение кривой чувствительности при ограниченном объеме статистики

По результатам эксперимента малого объема при N=20 испытаний в каждой из 10-и точек построим доверительные интервалы в каждой точке (рис. 2.5):

>> N=20;S=[];for i=1:n Y(i,:)=I_Binom(Gen('bin',N,p(i)),N,0.99);end

>> F=mean(Y,2);plot(x,Y(:,1),x,Y(:,2),x, F)

Рис. 2.5. Улучшенная кривая чувствительности при малом объеме статистики

Кривая чувствительности должна плавно возрастать при увеличения аргумента, изломы объясняются случайными погрешностями из-за малого объема статистики. Электронная формула Approx (Приложение 2б Листинг 2.10) строит сглаживающую кривую по дискретным точкам, осуществляя параметрическую оптимизацию заданной зависимости по критерию минимума суммарной квадратичной погрешности:

>> [Fun,Par]=Approx('1./(1+exp(-x+L)).^2',x,F' ,1)

Fun(x,L) = 1./(1 +exp(-x+L)).^2 Par = 6.1404

Формула получает вид зависимости, массивы значений аргумента и аппроксимируемой функции, а также исходные значения для ее параметров. Она составляет целевую функцию оптимизации параметров для программы fminsearch и возвращает инлайн-функцию с оптимальными параметрами Par. Вычислим с помощью этой функции и выведем на рис. 2.5 (черным цветом) улучшенный график кривой чувствительности:

>> X=2:0.1:12; Y=Fun(X,Par);hold on, plot(X,Y, 'k')

Для сравнения выведена также кривая, полученная ранее из статистики большого объема (пунктиром). Они практически совпали, хотя улучшенная кривая получена по статистике в 25 раз меньшего объема.

Вероятность нескольких попаданий в серийной стрельбе

Несколько выстрелов на одной установке прицела нельзя считать испытаниями Бернулли на том лишь основании, что в каждом выстреле вероятность попадания одинакова. Если бы единственной причиной промахов было рассеивание, вызванное индивидуальными особенностями каждого снаряда, события попадания в каждом выстреле можно было бы считать независимыми. Ошибки стрельбы содержат и повторяющуюся компоненту, одинаковую в каждом выстреле (ошибки целеуказания, прицеливания), что приводит к стохастической зависимости между событиями попадания.

Оценив степень зависимости между выстрелами и убедившись в том, что можно пренебречь зависимостью, вероятность попаданий все равно нельзя вычислять по биномиальной формуле, если условия стрельбы меняются от выстрела к выстрелу.