17. Характеристики случайных процессов.

Простейшими моментными функциями, в основном используемыми для характеристики случайных процессов, являются моменты распределения первых двух порядков: математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция случайного процесса. Математическое ожидание (или первый момент одномерного закона распределения) выражается формулой (3.7)

Физически математическое ожидание выражает среднее значение cовокупности выборок случайного процесса (случайной величины x(t₁) в определенный момент времени t₁). Дисперсия (или второй центральный момент одномерного закона распределения)—это математическое ожидание квадрата отклонения величин x(t₁) от математического ожидания в определенный момент времени t₁ определяемое выражением

(3.8) Дисперсия выражает меру разброса значений случайной вели­чины x(t₁) около математического ожидания, иными словами — «степень случайности» величины x(t₁). Корень квадратный из дисперсии принято называть среднеквад-ратическим отклонением случайной величины. Аналогично можно найти среднее значение квадрата случайной величины x(t₁) (3.9)

Положительный корень σ[х(t₁)] из этой величины называется среднеквадратическим значением х(t₁) Из (3.8) можно установить следующую зависимость между дисперсией и среднеквадратическим значением случайной величины

С учетом того, чтоможно получить (3.10) т. е. дисперсия равна разности квадратов среднеквадратического значения и математического ожидания. При а = 0 дисперсии D [х (t₁)] совпадают с квадратом среднеквадратического значения σ²[x(t₁)] случайной величины x(t₁). Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое значение случайной величины являются в общем случае функцией времени. Они приближенно характеризуют поведение случайного процесса в отдельные моменты времени, но совершенно не затрагивают связь между значениями случайного процесса в различные моменты времени. Эту связь выражает корреляционная функция К_хх (t₁ ,t₂), определяемая как среднее значение произведения значений случайной функции x(t) в моменты времени t₁ и t₂

Связь между значениями двух случайных процессов х (t₁) и у (t₂) в моменты времени t₁ и t₂ соответственно выражает взаимная корреляционная функция K_xy(t₁, t₂). определяемая как среднее значение произведения х (t₁) у (t₂)

Иногда рассматривают нормированную автокорреляционную r_хх и взаимную корреляционную r_ху функции (коэффициенты корреляции), определяемые выражениями

(3.13) (3.14) Нормированные корреляционные функции удобны тем, что они не превосходят единицы по абсолютной величине. Математическое ожидание, дисперсия, квадрат среднеквадратического значения и корреляционная функция, определяемые выражениями (3.7), (3.8) и (3.11), получены путем осреднения по множеству реализаций случайного процесса для фиксированных моментов времени Осредненные характеристики могут быть также получены путем обработки одной из реализаций случайного процесса на достаточно большом интервале времени. Среднее по времени значение случайного процесса определяется выражением (3.15) где x_i(t) — реализация случайного процесса x(t); Т — время наблюдения процесса.

По аналогии пользуются понятиями среднего по времени значения от функции х² (t), от квадрата разности [х (t) — х]² и от произведения x(t) • х (t + т), определяемыми соответственно выражениями (3.16) (3.17)

(3.18) В общем случае для различных реализаций случайного процесса получаются различные значения среднего по времени от х (t), x^z (t), [x(t) — x] и x(t) • x(t + т ). Если предположить, что х (t) представляет изменение напряжения (или тока), то физически (3.15) равно мощности постоянной составляющей, рассеиваемой на сопротивлении в 1 Ом. В связи с этим считают, что среднее по времени х выражает мощность постоянной составляющей реализации случайного процесса x(t_k). По аналогии можно считать, что (3.16) выражает полную среднюю мощность, а (3.17) выражает среднюю мощность «случайной» составляющей процесса x(t). Если случайный сигнал является дискретным, то числовые характеристики определяются выражениями

(3.19)

где P_k — априорная вероятность случайной величины x_k; P_k,k+e — совместная априорная вероятность величин x_k и x_k+e; n — число значений случайной величины х.