25. Теорема котельникова

Все реальные непрерывные сообщения отражают процессы, основная часть спектра которых сосредоточена в конечном интервале частот. Это объясняется частотными свойствами источников сообщений и абонентов (получателей сообщений), являющихся реальными физическими системами. Начиная с некоторой частоты высокочастотные со­ставляющие спектра сообщения оказываются значительно ниже уроюя помех и не воспринимаются получателем В данном случае все реальные непрерывные сообщения ₍можно рассматривать как функции с ограниченным спектром, т. е. таким, в котором не содержится частот выше некоторой граничной частоты F_B. Для таких функций Котельниковым сформулирована теорема, согласно которой непрерывная функция х(t), имеющая ограниченный спектр в полосе частот от 0 до F_B, может быть представлёна послёдовательностью своих мгновенных значений, взятых в точках, отсчитываемых через интервалы времени Δt, равные

Доказательство теоремы Котельникова основано на разложении функции х (t) с ограниченным спектром в ряд. Спектр S(jω) рассматриваемой функции ограничен полосрй ω_в = 2ПF_B, т. е,

Используя преобразование Фурье непрерывной функции

получим

Рассмотрим комплексный спектр функции х (t). Он задан на интервале (—ω, ω_в) и может быть представлен рядом Фурье:

Сравнивая (1-67) и (1-65), получаем

Подставив значение C_k в (1-66), будем иметь

Выразим функцию х (t) через ее спектр, используя (1-65):

Учитывая сходимость ряда и интеграла Фурье, произведем перестановку операций интегрирования и суммирования:

Определив значение интеграла

и подставив его в (1-71), с учетом (1-62), окончательно получаем выражение, называемое рядом Котельникова:

26. Корреляционный критерий

Критерий Железнова формулируется следующим образом: квазистационарный сигнал с неограниченным спектром определяется со сколь угодной малой ошибкой последовательностью его мгновенных значений, следующих друг за другом через интервалы Δt, если Δt ≤ τ₀, а длительность сигнала Тс >> τ₀.

Ряд (3.64) применительно к критерию Железнова представится в виде

(3.67)

Существенным преимуществом критерия Железнова является приближение модели сигнала к реальным условиям (неограниченность спектра и конечная длительность сигнала). Единственным ограничением является ограничение продолжительности функции корреляции величиной τ₀, определяемой выражением (3.34).

27. Критерий наибольшего допустимого отклонения.

Выбор шага дискретизации с использованием данного критерия производится в предположении, что исходное сообщение восстанавливается с помощью полинома степени n. На некотором отрезке времени [t₀, t_n] для равноотстоящих отсчетов восстановленное сообщение х'(t) может быть представлено выражением:

Вводя сокращенную запись, получим:

Для восстановления функции х(t) c помощью полинома степени n необходимо иметь n + 1 отсчетов.

Погрешность восстановления исходного сообщения в этом случае определится остаточным членом:

где — значение (n + 1)-й производной сообщения х (t) взятой в некоторой точке ξ, лежащей внутри интервала t_n — t₀. Поскольку положение точки ξ неизвестно, для оценки используют модуль максимального значения производной М_n+1 на заданном интервале. Тогда

Введя ограничение

где ε₀ — допустимая погрешность дискретизации по времени, можно найти шаг дискретизации или длину интервала t_n — t₀, на котором-нужно определить п + 1 отсчетных значений непрерывного сообщения. При этом интервал t_n — t₀ является некоторой функцией погрешности ε₀, степени воспроизводящего полинома и т. д.

Интерес представляет определение шага дискретизации при использовании воспроизводящих полиномов нулевой и первой степени.

Нулевой степени воспроизводящего полинома соответствует ступенчатая аппроксимация непрерывного сообщения. В этом случае (1-90) примет вид:

откуда

При n = 1 (линейная аппроксимация) остаточный член определится

Максимизируя произведение

получим

откуда