Системы координат на плоскости и в пространстве

     Системы координат на плоскости      Декартовы прямоугольные координаты (рис. 4.1)

     О - начало координат, Ох - ось абсцисс, Оy - ось ординат, - базисные векторы, - абсцисса точки M ( - проекция точки M на ось Ох параллельно оси Оy), - ордината точки M ( - проекция точки M на ось Oy параллельно оси Ox).

Декартовы косоугольные (афинные) координаты (рис. 4.2)

     О - начало координат, - оси координат, , - координаты точки M ( - проекция точки M на ось параллельно оси , аналогично ), - базисные векторы.

Полярные координаты (рис. 4.3)

     О - полюс, Ox - полярная ось, - полярный радиус, - полярный угол.

     Главные значения и : (иногда ).

     Выражение декартовых прямоугольных координат через полярные

     Выражение полярных координат через декартовы прямоугольные

28

Приближенное вычисление определенных интегралов

     Формула Ньютона-Лейбница позволяет нам вычислять определенные интегралы от таких функций, первообразные которых выражаются конечным числом элементарных функций. В тех же случаях, когда упомянутая первообразная не выражается через элементарные функции (или когда нахождение ее связано с чрезмерно громоздкими вычислениями), приходится искать иные способы вычисления определенного интеграла.

     В исключительных случаях удается найти определенный интеграл каким-нибудь искусственным приемом.

     Например, сделав в интеграле^**

подстановку x = π - z, приведем его к виду

откуда

Значит,

Положив здесь cos z = u, получаем:

и окончательно

     Однако ясно, что такие случаи не типичны. Вообще же говоря, определенный интеграл от такой функции, первообразная которой не выражается через элементарные функции, приходится находить с помощью какой-либо приближенной формулы.

     Остановимся только на одной из таких формул, которая называется "формулой средних прямоугольников". Разнообразные другие формулы приближенного интегрирования основаны по существу на тех же принципах, но потребовали бы больших усилий для установления оценки доставляемой ими точности.

     Как установили ранее, для интеграла от непрерывной функции справедлива формула

     Формула эта абсолютно точна, но не дает способа вычислять интеграл, т. к. точка ξ нам известна. Заменим в этой формуле неизвестную точку ξ на середину промежутка [a, b]. Это приведет уже не к точной, а только к приближенной формуле