Бесконечно малая величина

Последовательность a_n называется бесконечно малой, если . Например, последовательность чисел  — бесконечно малая.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки x₀, если .

Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если либо .

Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если , то f(x) − a = α(x), .

Бесконечно большая величина

Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция xsinx, неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при .

Последовательность a_n называется бесконечно большой, если .

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки x₀, если .

Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если либо .

19

Основные правила дифференцирования. Сумма.

      Выведем несколько правил вычисления производных, В этом пункте значения функций u и v и их производных в точке х₀ обозначаются для краткости так: u(х₀) = u, v(х₀) = v, u'(х₀) = u', v'(х₀)=v`. Если функции u и v дифференцируемы в точке х₀, то их сумма дифференцируема в этой точке и

(u+v)' = u' + v'.

      Коротко говорят: производная суммы равна сумме производных.       1) Для доказательства вычислим сначала приращение суммы функций в рассматриваемой точке: Δ(u+v) = u (х₀+Δx)+ v(х₀+Δx) – (u(х₀)+v(х₀)) = (u(х₀+Δx)-u(х₀)) + (v(х₀+Δx)-v(х₀)) = Δu + Δv       2)

      3) Функции u и v дифференцируемы в точке х₀, т. е. при Δх→0

      Тогда

при Δх→0 (см. правило 3, а) предельного перехода), т. е. (u+v)' = u'+v’       Лемма. Если функция f дифференцируема в точке х₀, то она непрерывна в этой точке: Δf→0 при Δx→0, т. е.

f(х₀ + Δх)→f (х₀) при Δx→0

.       Действительно,

при Δх→0, так как

      Итак, Δf→0 при Δx→0, т. е. для дифференцируемых функций f (х₀ + Δx)→f (х₀) при Δх→0.

Если функции и и v дифференцируемы в точке х0, то их произведение дифференцируемо в этой точке и (uv)' = u'v+uv'.       1) Найдем сначала приращение произведения: Δ(uv) = u(х0+Δx)v(х0+Δx)-u(х0)v(х0)=(u(х0)+ Δu)(v(х0)+ Δv)-u(х0)v(х0) = =u(х0)v(х0)+ Δuv(х0)+u(х0) Δv+ΔuΔv-u(х0)v(х0)= Δuv(х0)+u(х0) Δv+ΔuΔv       2)       3) В силу дифференцируемости функций u и v в точке х0 при Δx→0 имеем       Поэтому т. е. (uv)' = u'v+uv', что и требовалось доказать.       Следствие. Если функция u дифференцируема в х0, а С — постоянная, то функция Сu дифференцируема в этой точке и (Сu)' = Сu'.       Коротко говорят: постоянный множитель можно выносить за знак производной.       Для доказательства воспользуемся правилом 2 и известным из пункта о производной, фактом С' = 0: (Сu)' = Сu' + С'u = Cu' + 0⋅u = Cu'.

20

Пусть функция задана на некотором интервале . Если найдётся такая функция , что при всех имеет место равенство

то функция называется первообразной для функции .

        Пример 1.1   Рассмотрим функцию на всей числовой оси  -- на интервале . Тогда функция  -- это первообразная для на .

Для доказательства найдём производную от :

Поскольку равенство верно при всех , то  -- первообразная для на .     

Аналогичное определение дадим и для случая, когда функция задана не на одном интервале, а на объединении нескольких непересекающихся интервалов:

Назовём функцию первообразной для , если при всех выполнено равенство .При изучении первообразной будем опираться на следующее утверждение. Признак постоянства функции: Если на промежутке J производная Ψ(х) функции равна 0, то на этом промежутке функция Ψ(х) постоянна.

Это утверждение можно продемонстрировать геометрически.

Известно, что Ψ`(х)=tgα, γде α-угол наклона касательной к графику функции Ψ(х) в точке с абсциссой х<sub>0</sub>. Если Ψ`(υ)=0 в любой точке промежутка J, то tgα=0 δля любой касательной к графику функции Ψ(х). Это означает, что касательная к графику функции в любой его точке параллельна оси абсцисс. Поэтому на указанном промежутке график функции Ψ(х) совпадает с отрезком прямой у=С.

Итак, функция f(х)=с постоянна на промежутке J, если f`(х)=0 на этом промежутке.

Действительно, для произвольного х₁ и х₂ из промежутка J по теореме о среднем значении функции можно записать: f(х₂)- f(х₁)=f`(с) (х<sub>2</sub>- х<sub>1</sub>), т.к. f`(с)=0, то f(х₂)= f(х₁)

21

Опр.10.2. Множество первообразных функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом . Как следует из изложенного выше, если F(x) - некоторая первообразная функции f(x), то , где C - произвольная постоянная. Функцию f(x) принято называть подынтегральной функцией, произведение f(x) dx - подынтегральным выражением.

Свойства неопределённого интеграла, непосредственно следующие из определения:

1. .

2. (или ).