32. Умозаключения из суждений с отношениями.

Умозаключение, посылки и заключение которого являются суждениями с отношениями, называется умозаключением с отношениями. Например:

Петр — брат Ивана Иван — брат Сергея

Петр — брат Сергея

Посылки и заключение в приведенном примере — суждения с отношениями, имеющие логическую структуру xRy.

Логическим основанием умозаключений из суждений с отношениями являются свойства отношений, важнейшие из которых — 1) симметричность, 2) рефлексивность и 3) транзитивность.

1. Отношение называется симметричным. Оно имеет место как между предметами х и у, так и между предметами у и х. Иначе говоря, перестановка членов отношения не ведет к изменению вида отношения. Симметричными являются отношения равенства (если а равно Ь, то и Ь равно а), сходства (если с сходно с d, то и d сходно с с), одновременности (если событие х произошло одновременно с событием у, значит, и событие у произошло одновременно с событием х), различия и некоторые другие.Отношение симметричности символически записывается: xRy -> yRx.

2. Отношение называется рефлексивным (от латинского ге-flexio — «отражение»), если каждый член отношения находится в таком же отношении к самому себе. Таковы отношения равенства (если а=Ь, то а=а и Ь=Ь) и одновременности (если событие х произошло одновременно с событием у, значит, каждое из них произ шло одновременно с самим собой).Отношение рефлексивности записывается: xRy -> xRx л yRy.

3. Отношение называется транзитивным (от латинского trar tivus — «переход»), если оно имеет место между х и z тогда, когда он имеет место между х и у и между у и z. Иначе говоря, отношение является транзитивным (переходным) тогда и только тогда, когда и отношения между х и у и между у и z следует такое же отношение между х и z.

Транзитивными являются отношения равенства (если а равно и Ь равно с, то а равно с), одновременности (если событие х произошло одновременно с событием у и событие у одновременно с собь тием z, значит, событие х произошло одновременно с событием г1 отношения «больше», «меньше» (а меньше b, b меньше с, значит, меньше с), «позднее», «находиться севернее (южнее, восточнее, за паднее)», «быть ниже, выше» и т.п.Отношение транзитивности записывается: (xRy л yRz) -> xRz.

Для получения достоверных заключений из суждений с отношениями необходимо опираться на правила, вытекающие из свойст отношений.

Из свойства симметричности (xRy—>yRx) вытекает правило :если1 суждение xRy истинно, то суждение yRx тоже истинно. Например: |А подобно В В подобно А

Из свойства рефлексивности (xRy—>xRx л yRy) вытекает прав» ло: если суждение xRy истинно, то истинными будут суждения ~ и yRy. Например:а=Ь а=аи Ь= Ь'

Из свойства транзитивности (xRy л yRz->xRz) вытекает правило| если суждение xRy истинно и суждение yRz истинно, то суждею xRz также истинно. Например:К. был на месте происшествия раньше Л. Л. был на месте происшествия раньше М. К. был на месте происшествия раньше М.

33. Чисто условное умозаключение.

Чисто условным умозаключением называется такое опосредст­вованное умозаключение, в котором обе посылки являются услов­ными суждениями. Условным называется суждение, имеющее структуру: “Если а, то b”.

Если а, то b Схема:

Если b, то с.

Если а, то с а→b, b→c

a→c

Согласно определению логического следствия, сформулирован­ному в рамках исчисления высказываний, если формула а → с есть логическое следствие из данных посылок, то, соединив по­сылки знаком конъюнкции и присоединив к ним посредством зна­ка импликации заключение, мы должны получить формулу, кото­рая является законом логики, т.е. тождественно-истинной форму­лой. В данном случае формула будет такова:

((а→c)^ (b→с))→(а→с).

Приведем пример:

Если правильно внести удобрения, то урожай повысится

Если урожай повысится, то себестоимость продукции станет ниже.

Если правильно внести удобрения, то себестоимость продукции станет ниже.

В чисто условном умозаключении существуют его разновидно­сти (модусы). К ним относится, например, такой:

Если а, то b Схема:

Если не-а, то b а→b

b а→b

b

Формула: ((а →b) (ā →b))→b.

Эта формула является законом логики. В умозаключении су­ждение b истинно и независимо от того, утверждается или отри­цается а.

Примером такого умозаключения является следующее рассуж­дение:

Если бензин не подорожает, уберем урожай.

Если бензин подорожает; уберем урожай.

Уберем урожай.