4. Непрерывно-стохастические модели (q-схемы)

К ним относятся системы массового обслуживания (queuing systems), которые называютQ-схемами.

Теория массового обслуживания составляет один из разделов теории вероятностей. В этой теории рассматриваются вероятностные задачи и математические модели.

Детерминированная математическая модельотражает поведение объекта (системы, процесса) с позиций полной определенности в настоящем и будущем.Вероятностная математическая модельучитывает влияние случайных факторов на поведение объекта (системы, процесса) и, следовательно, оценивает будущее с позиций вероятности тех или иных событий, т.е. задачи рассматриваются в условиях неопределенности.

4.1. Понятие случайного процесса

В системе Sпротекает случайный процесс, если она с течением времени меняет свое состояние (переходит из одного состояния в другое), причем, заранее неизвестным случайным образом.

Непрерывный случайный процесс x(t) определяется заданием системы случайных величинx(t₁),x(t₂), ...,x(t_n), соответствующих значениям случайного процесса в фиксированные моменты времениt₁,t₂, …,t_n. Эти случайные величины описываютсяn-мерной плотностьюf(x₁,x₂, …,x_n,t₁,t₂, ...,t_n) вероятности.

4.1.1. Марковский случайный процесс

Случайный процесс, протекающий в системе, называется марковским, если для любого момента времениt₀вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный моментt₀и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.

Основное свойство марковского процесса может быть выражено соотношением для условной плотности при любых t₁<t₂< …<t_k:

f(x(t_k + 1)x(t₁), x(t₂), ..., x(t_k)) = f(x(t_k + 1)x(t_k)).

Размерность nвектораx(t) называютпорядкоммарковского процесса. Марковская модель является определенной идеализацией по отношению к реальным процессам. Достоинство этой модели состоит в возможности использования эффективных алгоритмов обработки информации.

В исследовании операций большое значение имеют Марковские случайные процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем.

Процесс называется процессом с дискретным состоянием, если его возможные состоянияS₁,S₂, … можно заранее определить, и переход системы из состояния в состояние происходит «скачком», практически мгновенно. Процесс называетсяпроцессом с непрерывным временем, если моменты возможных переходов из состояния в состояние не фиксированы заранее, а неопределенны, случайны и могут произойти в любой момент.

Далее рассматриваются только процессы с дискретным состоянием и непрерывным временем.

4.1.2. Потоки событий

Поток событий(ПС) – последовательность событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени (например, поток отказов и поток восстановлений, поток вызовов на телефонной станции, поток покупателей в магазине и т.д.). Различают потоки однородных и неоднородных событий.

ОднородныйПС характеризуется только моментами поступления этих событий (вызывающими моментами) и задаётся последовательностью {t_n} = {0  t₁  t₂ …  t_n …}, гдеt_n– момент поступленияn-ого события. ОПС может быть также задан в виде последовательности промежутков времени междуn-ым и (n – 1)-ым событиями {_n}.

НеоднороднымПС называется последовательность {t_n, f_n}, гдеt_n– вызывающие моменты;f_n– набор признаков события. Например, может быть задана принадлежность к тому или иному источнику заявок, наличие приоритета, возможность обслуживания тем или иным типом канала и т.п.

Поток событий можно наглядно изобразить рядом точек на оси времени 0t– рис. 4.1.

Рис. 4.1. Изображение потока событий на оси времени

Положение каждой точки случайно, и здесь изображена лишь какая-то одна реализация потока.

Интенсивность потока событий() – это среднее число событий, приходящееся на единицу времени. Интенсивность потока может быть как постоянной (=const) так и переменной, зависящей от времениt.

Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через определенные равные промежутки времени.

Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени. В частности, интенсивностьстационарного потока постоянна. Поток событий неизбежно имеет сгущения или разрежения, но они не носят закономерного характера, и среднее число событий, приходящееся на единицу времени, постоянно и от времени не зависит.

Поток событий называется потоком без последствий, если для любых двух непересекающихся участков времени₁и₂(см. рис. 4.1) число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой. Другими словами, это означает, что события, образующие поток, появляются в те или иные моменты временинезависимо друг от другаи вызваны каждое своими собственными причинами.

Поток событий называется ординарным, если события в нем появляются поодиночке, а не группами по нескольку сразу.

Поток событий называется простейшим(илистационарным пуассоновским), если он обладает сразу тремя свойствами: 1) стационарен, 2) ординарен, 3) не имеет последствий.

Для простейшего потока с интенсивностью интервалTмежду соседними событиями имеетпоказательное(экспоненциальное)распределениес плотностью, где– параметр показательного закона (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Показательное распределение простейшего потока событий

Для случайной величины T, имеющей показательное распределение, математическое ожиданиеm_Tесть величина, обратная параметру, а среднее квадратичное отклонение_Tравно математическому ожиданиюm_T = _T = 1/.

Поток событий называется рекуррентным(иначе – потоком Пальма), если он стационарен, ординарен, а интервалы времени между событиямиT₁,T₂,Т₃,... представляют собой независимые случайные величины с одинаковым произвольным распределением (например, с распределением, показанным на рис. 4.3).

Рис. 4.3. Пример потока Пальма

Простейший поток представляет собой частный случай рекуррентного потока, когда интервалы между событиями имеют показательное распределение. Другим частным (вырожденным) случаем рекуррентного потока является регулярный поток событий, где интервалы постоянны.