8.3. Моделирование случайных событий с заданным законом распределения

8.3.1. Разыгрывание дискретной случайной величины

Пусть требуется разыграть дискретную случайную величину, т.е. получить последовательность ее возможных значений x_i(i= 1, 2, 3, ...,n), зная закон распределенияX:

X	x1	x2	x3	…
P	p1	p2	p3	…

Обозначим через Rнепрерывную случайную величину. ВеличинаRраспределена равномерно в интервале (0, 1). Черезr_j(j= 1, 2, ...) обозначим возможные значения случайной величиныR. Разобьем интервал 0 < R < 1 на оси 0rточками с координатамиp₁, p₁ + p₂, p₁ + p₂ + p₃, …, p₁ + … +p_n – 1наn частичных интервалов₁, ₂, …, _n.

Тогда получим:

Длина ₁ = p₁ – 0 = p₁.

Длина ₂ = (p₁ + p₂) – p₁ = p₂.

…

Длина _n = 1 – (p₁ + p₂ + … +p_n – 1) = p_n.

Видно, что длина частичного интервала с индексом iравна вероятностиPс тем же индексом:_i = p_i

Таким образом, при попадании случайного числа r_iв интервал случайная величинаХпринимает значениеx_iс вероятностьюp_i.

Существует следующая теорема:

Если каждому случайному числу r_i(0  r_j < 1), которое попало в интервал_j, поставить в соответствие возможное значениеx_i, то разыгрываемая величина будет иметь заданный закон распределения.

Алгоритм разыгрывания дискретной случайной величины заданной законом распределения:

1. Разбить интервал (0, 1) на оси 0rнаn частичных интервалов₁– (0;p₁),₂– (p₂;p₁ + p₂), …,_n– (p₁ + … +p_n – 1; 1).

2. Выбрать (например, из таблицы случайных чисел, или в компьютере) случайное число r_j.

X	x1	x2	x3	…
P	p1	p2	p3	…

Если r_iпопало в интервал_j, то разыгрываемая дискретная случайная величина приняла возможное значениеx_i.

8.3.2. Разыгрывание непрерывной случайной величины

Пусть требуется разыграть непрерывную случайную величину Х, т.е. получить последовательность ее возможных значенийx_i(i= 1, 2, …). При этом функция распределенияF(X) известна.

Существует следующая теорема.

Если r_i– случайное число, то возможное значениеx_iразыгрываемой непрерывной случайной величиныХс известной функцией распределенияF(X), соответствующееr_i, является корнем уравненияF(x_i) = r_i.

Алгоритм разыгрывания непрерывной случайной величины:

1. Необходимо выбрать случайное число r_i.

2. Приравнять выбранное случайное число известной функции распределения F(X) и получить уравнениеF(x_i) = r_i.

3. Решить данное уравнение относительно x_i. Полученное значениеx_iбудет соответствовать одновременно и случайному числуr_i, и заданному закону распределенияF(X).

8.2.3. Разыгрывание случайной величины, распределенной нормально

Известно, что если случайная величина Rраспределена равномерно в интервале (0, 1), то ее математическое ожиданиеМ(R) = 1/2, а дисперсияD(R) =1/12.

Составим сумму nнезависимых случайных величинR_j(j= 1, 2, …,n), которые распределены равномерно в интервале (0, 1). Получим.

Пронормируем эту сумму. Для этого найдем сначала ее математическое ожидание и дисперсию. Известно, что математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых. Сумма R_jсодержитnслагаемых. Математическое ожидание каждого слагаемого равно 1/2. Следовательно, математическое ожидание суммы равно:

.

Аналогично для дисперсии суммы R_jполучим:

.

Отсюда среднее квадратическое отклонение суммы R_j:

.

Теперь пронормируем сумму R_j.

Для этого вычтем из суммы R_jматематическое ожидание этой суммы и разделим на среднее квадратическое отклонение суммыR_j. Получим:

, то есть.

На основании центральной предельной теоремытеории вероятностей приnраспределение этой нормированной случайной величины стремится к нормальному закону с параметрамиa = 0 и = 1.

Если требуется разыграть значения нормальной ненормированной случайной величины с математическим ожиданием aотличным от нуля иотличным от единицы, то сначала разыгрывают возможные значенияx_iнормированной случайной величины, а затем находят искомое значение по формуле, которая получена из соотношения.

Таблица 8.1

Формулы для моделирования случайных величин

Закон распределения случайной величины	Плотность распределения	Формула для моделирования случайной величины
Экспоненциальный
Вейбула
Гамма-распределение ( – целые числа)
Нормальное