- •Содержание
- •1. Общие вопросы моделирования
- •1.1. Предмет теории моделирования
- •1.2. Классификация моделей
- •1.3. Классификация объектов моделирования
- •1.4. Основные этапы моделирования
- •2. Технология моделирования
- •2.1. Создание концептуальной модели
- •2.2. Подготовка исходных данных
- •2.3. Разработка математической модели
- •3. Математические схемы моделирования систем.
- •3.1. Основные подходы к построению математических моделей систем
- •3.2. Непрерывно-детерминированные модели (д-схемы)
- •3.3. Дискретно-детерминированные модели (f-схемы)
- •4. Непрерывно-стохастические модели (q-схемы)
- •4.1. Понятие случайного процесса
- •4.1.1. Марковский случайный процесс
- •4.1.2. Потоки событий
- •4.1.3. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний. Финальные вероятности состояний
- •4.2. Задачи теории массового обслуживания
- •4.3. Классификация систем массового обслуживания
- •4.4. Математические модели простейших систем массового обслуживания
- •4.4.1. Одноканальная смо с отказами
- •4.4.2. Одноканальная смо с ожиданием
- •4.4.3. Одноканальная смо с ожиданием без ограничения на длину очереди
- •4.4.4.МногоканальнаяСмо с отказами(задача Эрланга)
- •4.4.5.Многоканальная смо с ожиданием
- •4.4.6. Модель обслуживания машинного парка
- •5. Сетевые модели (n-схемы). Сети Петри
- •5.1. Теоретические основы сетей Петри: принципы построения, алгоритмы поведения
- •5.1.1. Введение в теорию комплектов
- •5.1.2. Структура сети Петри
- •5.1.3. Графы сетей Петри
- •5.1.4. Маркировка сетей Петри
- •5.1.5. Правила выполнения сетей Петри
- •5.2. Сети Петри для моделирования систем: способы реализации
- •5.2.1. События и условия
- •5.2.2. Одновременность и конфликт
- •6. Обощенные модели (a-схемы)
- •6.1. Структура агрегативной системы
- •6.2. Кусочно-линейные агрегаты
- •7. Имитационное моделирование систем
- •7.1. Процедура имитационного моделирования
- •7.2. Обобщённые алгоритмы имитационного моделирования
- •7.2.1. Алгоритм моделирования по принципу особых состояний
- •7.2.2. Алгоритм моделирования по принципуt
- •7.3. Этапы имитационного моделирования
- •8. Статистическое моделирование приборных систем
- •8.1. Теоретические основы метода статистического моделирования
- •8.2. Моделирование случайных величин
- •8.2.1. Табличный способ
- •8.2.2. Аппаратный способ
- •8.2.3. Алгоритмический способ
- •8.3. Моделирование случайных событий с заданным законом распределения
- •8.3.1. Разыгрывание дискретной случайной величины
- •8.3.2. Разыгрывание непрерывной случайной величины
- •8.2.3. Разыгрывание случайной величины, распределенной нормально
- •8.4. Моделирование систем массового обслуживания с использованием метода Монте-Карло
2.3. Разработка математической модели
Концептуальная модель и количественные исходные данные служат основой для разработки математической модели. Создание математической модели преследует две основные цели: 1) дать формализованное описание структуры и процесса функционирования системы для однозначности их понимания; 2) попытаться представить процесс функционирования в виде, допускающем аналитическое исследование системы.
Единая методика создания математических моделей отсутствует. Это обусловлено большим разнообразием классов систем. Системы могут быть статические и динамические, со структурным или программным управлением, с постоянной или переменной структурой, с постоянным (жестким) или сменным (гибким) программным управлением. По характеру входных воздействий и внутренних состояний системы подразделяются на непрерывные и дискретные, линейные и нелинейные, стационарные и нестационарные, детерминированные и стохастические. При исследовании приборных систем может быть получено такое же разнообразие моделей в зависимости от ориентации, степени стратификации и детализации.
Для определенных классов систем разработаны формализованные схемы и математические методы, которые позволяют описать функционирование системы, а в некоторых случаях – выполнять аналитические исследования.
Средствами формализованного описания процессов функционирования систем с программным принципом управления служат определенные языки и системы имитационного моделирования.
3. Математические схемы моделирования систем.
3.1. Основные подходы к построению математических моделей систем
Математическая схема– это звено при переходе от содержательного к формализованному описанию процесса функционирования системы с учётом воздействия внешней среды, т.е. имеет место цепочка: описательная модель – математическая схема – имитационная модель.
Каждая конкретная система Sхарактеризуется набором свойств, под которыми понимаются величины, отображающие поведение моделируемого объекта (реальной системы) и учитываются условия её функционирования во взаимодействии с внешней средой (системой)Е.
Полнота моделирования регулируется, в основном, выбором границ «Система S– среда E».
Математическую модель(ММ) объекта моделирования, т.е. системыSможно представить в виде множества величин, описывающих процесс функционирования реальной системы и образующих в общем случае следующие подмножества:
совокупность входных воздействий на S;
совокупность воздействий внешней среды ;
совокупность внутренних (собственных) параметров системы ;
совокупность выходных характеристик системы .
В перечисленных множествах можно выделить управляемые и неуправляемые величины. В общем случае непересекающиеся множества X,V,H,Yсодержат как детерминированные так и стохастические составляющие. Входные воздействияEи внутренние параметрыSявляютсянезависимыми(экзогенными)переменными,. Выходные характеристики –зависимые(эндогенные)переменные. Процесс функционированияSописывается операторомFS:
, (3.1)
где – выходная траектория,FS– закон функционированияS.FSможет быть функция, функционал, логические условия, алгоритм, таблица или словесное описание правил.
Алгоритм функционированияAS– метод получения выходных характеристикс учётом входных воздействий. Очевидно один и тот жеFSможет быть реализован различными способами, т.е. с помощью множества различныхAS.
Соотношение (3.1) является математическим описанием поведения объекта Sмоделирования во времениt, т.е. отражает егодинамические свойства. (3.1) – это динамическая модель системыS. Для статических условий ММ есть отображенияX,V,HвY:
. (3.2)
Соотношения (3.1), (3.2) могут быть заданы формулами, таблицами и т.д. Также соотношения в ряде случаев могут быть получены через свойства системы в конкретные моменты времени, называемые состояниями.
Состояния системы Sхарактеризуются векторами:
и, гдев момент;в моменти т.д.,k = 1, …, nZ.
Z1(t),Z2(t), …,Zk(t) – это координаты точки вk-мерномфазовом пространстве. Каждой реализации процесса будет соответствовать некотораяфазовая траектория.
Совокупность всех возможных значений состояний называетсяпространством состоянийобъекта моделированияZ, причёмzkZ.
Состояние системы Sв интервале времениt0<tTполностью определяется начальными условиями, где, …; входными воздействиями, внутренними параметрамии воздействиями внешней среды, которые имели место за промежуток времениt*–t0cпомощью 2-х векторных уравнений:
(3.3)
(3.4)
иначе: (3.5)
Время в модели Sможет рассматриваться на интервале моделирования (t0,T) как непрерывное, так и дискретное, т.е. квантованное на отрезке длинойt.
Таким образом, под ММ объекта понимаем конечное множество переменных вместе с математическими связями между ними и характеристиками.
Моделирование называется детерминированным, если операторыF,Ф– детерминированные. Детерминированное моделирование – частный случай стохастического моделирования. В практике моделирования объектов в области системного анализа на первичных этапах исследования рациональнее использовать типовые математические схемы: дифференциальные уравнения, конечные и вероятностные автоматы, СМО и т.д. Не обладая такой степенью общности, как модели (3.3), (3.4), типовые математические схемы имеют преимущество простоты и наглядности, но при существенном сужении возможности применения.
В качестве детерминированных моделей, когда при исследовании случайный факт не учитывается, для представления систем, функционирующих в непрерывном времени, используются дифференциальные, интегральные и другие уравнения, а для представления систем, функционирующих в дискретном времени – конечные автоматы и конечно-разностные схемы.
В стохастических моделях (при учёте случайного фактора) для представления систем с дискретным временем используются вероятностные автоматы, а для представления систем с непрерывным временем – системы массового обслуживания (СМО). Большое практическое значение при исследовании сложных индивидуальных управленческих систем, к которым относятся АСУ, имеют так называемые агрегативные модели.
Aгрегативные модели (системы) позволяют описать широкий круг объектов исследования с отображением системного характера этих объектов. Именно при агрегативном описании сложный объект расчленяется на конечное число частей (подсистем), сохраняя при этом связи, обеспечивая взаимодействие частей.