6. Обощенные модели (a-схемы)

Обобщенный подход базируется на понятии агрегативной системы (aggregate system), представляющей собой формальную схему общего вида (А-схему). Этот подход позволяет описывать поведение непрерывных и дискретных, детерминированных и стохастических систем.

А-схема должна выполнять несколько функций:

• являться адекватным математическим описанием объекта моделирования;

• позволять в упрощенном варианте (для частных случаев) проводить аналитические исследования.

При агрегативном подходе первоначально дается формальное определение объекта моделирования – агрегативной системы. При агрегативном описании сложный объект (система) разбивается на конечное число частей (подсистем), сохраняя при этом связи, обеспечивающие их взаимодействие. В случае сложной организации полученных подсистем, подсистемы декомпозируются до уровней, в которых они могут быть удобно математически описаны. В результате сложная система представляется в виде многоуровневой конструкции из взаимосвязанных элементов, объединенных в подсистемы различных уровней.

Элементом А-схемы являетсяагрегат. Связь между агрегатами (внутри системыSи с внешней средойE) осуществляется с помощью оператора сопряженияR.Агрегат может рассматриваться какА-схема, т.е. может разбиваться на элементы (агрегаты) следующего уровня.

Характеристиками агрегата являются множества моментов времени T, входныхXи выходныхYсигналов, состоянийZв каждый момент времениt.

Пусть переход агрегата из состояния z(t₁) в состояниеz(t₂)  z(t₁) происходит за малый интервал времениz. Переходы из состоянияz(t₁) вz(t₂) определяются внутренними параметрами агрегатаh(t)  Hи входными сигналамиx(t)  X.

В начальный момент времени t₀состоянияzимеют значения, равныеz⁰, т.е.z⁰ = z(t₀), которые задаются законом распределенияL[z(t₀)]. Пусть изменение состояния агрегата при входном сигналех_пописывается случайным операторомV. Тогда для момента времениt_n  Tпри поступлении входного сигналах_nсостояние определяется по формуле (6.1):

z(t_n + 0) = V[t_n, z(t_n), x_n]. (6.1)

Если на интервале времени (t_n, t_n + i) нет поступления сигналов, то дляt  (t_n, t_n + 1) состояние агрегата определяется случайным операторомU, и его можно записать следующим образом (6.2):

z(t) = U[t, t_n, z(t_n + 0)]. (6.2)

Так как на оператор Uне накладываются никакие ограничения, то допустимы скачки состоянийzв моменты времени, не являющимися моментами поступления входных сигналовx.

Моменты скачков zназываютсяособымимоментами времениt_s, состоянияz(t_s) –особымисостояниямиА-схемы. Для описания скачков состоянийz в особые моменты времениt_sиспользуется случайный операторW, который представляет собой частный случай оператораU(6.3):

z(t_ + 0) = W[t_, z(t_)]. (6.3)

На множестве состояний Zвыделяется такое подмножествоZ^(Y), что еслиz(t_) достигаетZ^(Y), то это состояние являетсямоментом выдачивыходного сигнала. Выходной сигнал можно описать оператором выходов (6.4):

y = G[t_, z(t_)]. (6.4)

Под агрегатом будем понимать любой объект, который описывается следующим образом (6.5):

A_n = <T, X, Y, Z, Z^(Y), H, V, U, W, G>. (6.5)