4.4.4.МногоканальнаяСмо с отказами(задача Эрланга)

Дано: в системе имеетсяnканалов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью. Поток обслуживаний имеет интенсивность. Заявка, заставшая систему занятой, сразу же покидает ее.

Найти: абсолютную и относительную пропускную способность СМО; вероятность того, что заявка, пришедшая в момент времениt, получит отказ; среднее число заявок, обслуживаемых одновременно (или, другими словам, среднее число занятых каналов).

Решение. Состояние системыS(СМО) нумеруется по максимальному числу заявок, находящихся в системе (оно совпадает с числом занятых каналов):

S₀– в СМО нет ни одной заявки;

S₁– в СМО находится одна заявка (один канал занят, остальные свободны);

S₂– в СМО находится две заявки (два канала заняты, остальные свободны);

. . .

S_n– в СМО находитсяnзаявок (всеnканалов заняты).

Граф состояний СМО представлен на рис. 4.7

Рис. 4.7. Граф состояний для n-канальной СМО с отказами

Из состояния S₀в состояниеS₁систему переводит поток заявок с интенсивностью(как только приходит заявка, система переходит изS₀вS₁). Если система находилась в состоянииS₁и пришла еще одна заявка, то она переходит в состояниеS₂и т.д.

Пусть система находится в состоянии S₁(работает один канал). Он производитобслуживаний в единицу времени. Поэтому дуга перехода из состоянияS₁в состояниеS₀нагружена интенсивностью. Пусть теперь система находится в состоянииS₂(работают два канала). Чтобы ей перейти вS₁, нужно, чтобы закончил обслуживание первый канал, либо второй. Суммарная интенсивность их потоков равна 2и т.д.

Выходные характеристики (характеристики эффективности) данной СМО определяются следующим образом.

Абсолютнаяпропускнаяспособность:

где n– количество каналов СМО;p₀– вероятность нахождения СМО в начальном состоянии, когда все каналы свободны (финальная вероятность нахождения СМО в состоянииS₀).

Для того чтобы написать формулу для определения p₀, рассмотрим рис. 4.8.

Рис. 4.8. Граф состояний для схемы «гибели и размножения»

Граф, представленный на этом рисунке, называют графом состояний для схемы «гибели и размножения».

Остальные финальные вероятности состояний СМО запишутся следующим образом.

Вероятность того, что СМО находится в состоянии S₁, когда один канал занят:

Вероятность того, что СМО находится в состоянии S₂, т.е. когда два канала заняты:

Вероятность того, что СМО находится в состоянии S_n, т.е. когда все каналы заняты.

Теперь для n-канальной СМО с отказами

При этом

Относительная пропускная способность(средняя доля заявок, обслуживаемых системой):

.

Вероятностьотказа(вероятность того, что заявка покинет СМО необслуженной):

.

Среднее число занятых каналов(среднее число заявок, обслуживаемых одновременно):

.

4.4.5.Многоканальная смо с ожиданием

Пусть многоканальная система массового обслуживания с ожиданием имеет Sканалов обслуживания. Входной и выходной потоки являются пуассоновскими с интенсивностямиисоответственно. Средняя продолжительность обслуживания одного клиента равна – 1/.

В установившемся режиме функционирование многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной очередью может быть описано с помощью системы алгебраических уравнений:

.

Решение данной системы уравнений имеет вид:

,

где =/;.

Решение будет действительным, если выполняется условие .

Вероятностные характеристики функционирования в стационарном режиме многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной очередью определяются по следующим формулам:

• вероятность того, что в системе находится n клиентов на обслуживании:

;

• среднее число клиентов в очереди на обслуживание:

;

• среднее число находящихся в системе клиентов(заявок на обслуживание и в очереди):

;

• средняя продолжительность пребывания клиента (заявки на обслуживание) в очереди:

;

• средняя продолжительность пребывания клиента (заявки на обслуживание) в системе:

.