4.4.6. Модель обслуживания машинного парка

Модель обслуживания машинного парка представляет собой модель замкнутой системы массового обслуживания: интенсивность входящего потока заявок зависит от состояния системы, причем источник требований является внутренним и генерирует ограниченный поток заявок.

Пусть машинный парк состоит из Nмашин и обслуживается бригадойRтехников (N>R), причем каждая машина может обслуживаться только одним техником. Здесь машины являются источниками требований (заявок на обслуживание), а техники – обслуживающими каналами. Интенсивность зависит от того, сколько машин в данный момент находится в эксплуатации (N–k) и сколько машин обслуживается или стоит в очереди, ожидая обслуживания (k). Общий (суммарный) входящий поток имеет интенсивность (N–k).

Требование, поступившее в систему в момент, когда свободен хотя бы один канал, немедленно идет на обслуживание. Если требование застает все каналы занятыми обслуживанием других требований, то оно не покидает систему, а становится в очередь и ждет, пока один из каналов не станет свободным. Таким образом, в замкнутой системе массового обслуживания входящий поток требований формируется из выходящего.

Состояние S_kсистемы характеризуется общим числом требований, находящихся на обслуживании и в очереди, равнымk. Для рассматриваемой замкнутой системы, очевидно,k = 0, 1, 2, ..., N. При этом если система находится в состоянииS_k, то число объектов, находящихся в эксплуатации, равно (N–k).

Если – интенсивность потока требований в расчете на одну машину, то:

;

.

Система алгебраических уравнений, описывающих работу замкнутой СМО в стационарном режиме, выглядит следующим образом (=/):

,

Решая данную систему, находим вероятность k-гo состояния:

.

Величина P₀определяется из условия нормированияполученных результатов по формулам дляP_k,k= 0, 1, 2, ...,N. Определим следующие вероятностные характеристики системы:

• среднее число требований в очереди на обслуживание:

;

• среднее число требований, находящихся в системе(на обслуживании и в очереди):

;

• среднее число техников(каналов), простаивающих из-за отсутствия работы:

;

• коэффициент простоя обслуживаемого объекта (машины)в очереди:

;

• коэффициент использования объектов (машин):

;

• коэффициент простоя обслуживающих каналов (техников):

;

• среднее время ожидания обслуживания (время ожидания обслуживания в очереди):

.

5. Сетевые модели (n-схемы). Сети Петри

5.1. Теоретические основы сетей Петри: принципы построения, алгоритмы поведения

Сети Петри были разработаны и используются для моделирования систем, которые содержат взаимодействующие параллельные компоненты, например аппаратное и программное обеспечение ЭВМ, гибкие производственные системы, а также социальные и биологические системы.

5.1.1. Введение в теорию комплектов

Математическим аппаратом сетей Петри является теория комплектов (естественное расширение теории множеств). Как и множество, комплектявляется набором элементов из некоторой области. В отличие от множества, где элемент либо является элементом множества, либо нет, в комплект элемент может входить заданное число раз.

Основным понятием теории комплектов является функция числа экземпляров: #(x,B) – числоxвB, т.е. число экземпляров элементаxвB.

Элемент хявляетсячленомкомплектаB, если #(x, B) > 0. Аналогично, если #(x, B) = 0, тохне принадлежитB.– пустой комплект, не имеющий членов (для всехх: #(x, 0) = 0). Если ограничить число элементов в комплекте так, что 0  #(x, B)  1, то получим теорию множеств.

Под мощностью|B| комплектаBпонимается общее число экземпляров в комплекте |B| = _x#(x, B).

Комплект Aявляется подкомплектом комплектаB, если каждый элементAявляется элементомB, по крайней мере, не большее число раз, т.е.ABтогда и только тогда, когда #(x,A)#(x,B) для всехх.

Два комплекта равны (А = В), если #(x, A) = #(x, B).

Комплект Aстрого включен в комплектB(A  B), еслиA  BиA  B. Над комплектами определены 4 операции:

объединение A  B: #(x, A  B) = max(#(x, A), #(x, B));

пересечение A  B: #(x, A  B) = min(#(x, A), #(x, B));

сумма A + B: #(x, A + B) = #(x, A) + #(x, B);

разность A – B: #(x, A – B) = #(x, A) – #(x, B);

Назовем множество элементов, из которых составляются комплекты, областью D. Пространство комплектовDⁿесть множество всех таких комплектов, что элементы их принадлежатDи ни один из элементов не входит в комплект болееnраз. Иначе говоря, для любогоBDⁿ:

а) из xBследуетхD;

б) для любого х#(x,B)n.

Множество D^есть множество всех комплектов над областьюDбез какого-либо ограничения на число экземпляров элемента в комплекте.