4.3. Классификация систем массового обслуживания

Классификация СМО по наличию очередей:

• с отказами;

• с очередью.

В СМО с отказамизаявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем не обслуживается.

В СМО с очередьюзаявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь и ожидает возможности быть обслуженной.

СМО с очередями подразделяются на разные виды в зависимости от того, как организована очередь – ограничена или не ограничена. Ограничения могут касаться как длины очереди, так и времени ожидания или дисциплины обслуживания.

Рассматриваются следующие СМО:

• СМО с нетерпеливыми заявками(длина очереди и время обслуживания ограничено);

• СМО с обслуживанием с приоритетом, т.е. некоторые заявки обслуживаются вне очереди и т.д.

Кроме этого СМО делятся на открытые СМО и замкнутые СМО.

В открытой СМОхарактеристики потока заявок не зависят от того, в каком состоянии сама СМО (сколько каналов занято). Взамкнутой СМО– зависят. Например, если один инженер обслуживает группу приборов, время от времени требующих наладки, то интенсивность потока требований со стороны приборов зависит от того, сколько их уже исправно и ждет наладки.

Классификация СМО далеко не ограничивается приведенными разновидностями.

4.4. Математические модели простейших систем массового обслуживания

4.4.1. Одноканальная смо с отказами

Дано: система имеет один канал обслуживания, на который поступает простейший поток заявок с интенсивностью. Поток обслуживаний имеет интенсивность. Заявка, заставшая систему занятой, сразу же покидает ее.

Найти: абсолютную и относительную пропускную способность СМО и вероятность того, что заявка, пришедшая в момент времениt, получит отказ.

Рис.4.5. Граф состояний одноканальной СМО с отказами

Система при любом t> 0 может находиться в двух состояниях:S₀– канал свободен;S₁– канал занят. Переход изS₀вS₁связан с появлением заявки и немедленным началом ее обслуживания. Переход изS₁вS₀осуществляется, как только очередное обслуживание завершится (рис. 4.5).

Обозначим вероятности состояний: P₀(t) – вероятность состояния «канал свободен»;P₁(t) – вероятность состояния «канал занят». По размеченному графу состояний (рис. 4.6) составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний:

.

Данная система линейных дифференциальных уравнений имеет решение с учетом нормировочного условия P₀(t) +P₁(t) = 1. Решение данной системы называетсянеустановившимся, поскольку оно непосредственно зависит отtи выглядит следующим образом:

,

P₁(t) = 1 –P₀(t).

Для одноканальной СМО с отказами P₀(t) – вероятность того, что в моментtканал свободен, и заявка, пришедшая к моментуt, будет обслужена. Следовательно, для данного момента времениtсреднее отношение числа обслуженных заявок к числу поступивших также равноP₀(t), т.е.Q=P₀(t).

По истечении большого интервала времени (при t) достигается стационарный (установившийся) режим.

Абсолютная пропускная способность(среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени):

,

где – интенсивность потока заявок (величина, обратная среднему промежутку времени между поступающими заявками – 1/t_з);– интенсивность потока обслуживаний (величина, обратная среднему времени обслуживания 1/t_об)

Относительная пропускная способность(средняя доля заявок, обслуживаемых системой):

.

Вероятность отказа(вероятность того, что заявка покинет СМО необслуженной):

.