где р – импульс частицы,
в классическом приближении (при v<<c): p = mv; m – масса частицы;
v – скорость частицы;
с – скорость света в вакууме.
|
|
|
|
p = |
|
|
mv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В релятивистском случае (при v ~ c ): |
|
|
|
1 − |
v |
2 . |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Связь импульса с кинетической энергией Wк |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
в релятивистском приближении: |
|
W (W + 2E |
0 |
|
) |
|
, |
||||||||
|
|
||||||||||||||
|
c |
|
к |
к |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где E0 - энергия покоя частицы: |
|
|
|
E0 |
= mc2 . |
|
|
|
|
||||||
7.4.3.Примеры решения задач по статистической физике, термодинамике и по квантовой физике
Задача 1. В сосуде объемом V1 = 3 л находится газ под давлением 0,2 МПа, в другом сосуде объемом V2 = 4 л находится тот же газ под давлением 0,1 МПа. Температура в обоих сосудах одинакова. Под каким давлением будет находиться газ, если сосуды соединить трубкой?
V1 = 3 л = 3 ×10−3 м3
p1 = 0,2 МПа = 0,2 ×106 Па V2 = 4 л = 4 ×10−3 м3
Дано: p2 = 0,1 МПа = 0,1×106 Па Т = const
m = const
Найти: р.
Решение: По закону Дальтона:
|
|
|
|
~ |
~ |
, |
(1) |
|
~ |
~ |
|
p = p1 |
+ p2 |
||
где |
|
- парциальные давления. |
|
|
|
||
p1 |
, p |
2 |
|
|
|
Из уравнения Менделеева-Клапейрона до соединения сосудов получим:
p V = |
m1 |
|
RT, (2) p |
V = |
m 2 |
RT |
(3) |
, |
|
μ |
μ |
||||||||
1 1 |
|
2 2 |
|
|
|||||
где m1 |
и |
m2 - масса газа в первом и во втором сосудах; |
|||||||
m - молярная масса;
R – газовая постоянная.
Аналогично для парциальных давлений (после соединения):
~ |
(V1 |
+ V2 ) = |
m1 |
|
|
p1 |
|
RT , |
|||
μ |
|||||
|
|
|
|
и
|
|
|
(4) |
|
||
~ |
(V1 |
+ V2 ) = |
m2 |
|
|
|
p2 |
|
RT . |
(5) |
|||
m |
||||||
|
|
|
|
|
||
Так как T = const и m = const, то правые части уравнений (2) и (4), а также уравнений (3) и (5) равны. Тогда:
~ |
(V1 + V2 ); |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
p1V1 = p1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
p2V2 = p2 (V1 + V2 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Отсюда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
~ |
|
|
V1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p1 = p1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
|
|||
V + V |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
= p2 |
V21 |
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
. |
(7) |
||||
|
|
|
|
|
|
V + V |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
Подставляя (6) и (7) в (1), |
получим: |
|
|
|
||||||||||
p = |
p V + p V |
= |
0,2 ×106 |
× 3 ×10−3 + 0,1×106 × 4 ×10−3 |
= |
|||||||||
1 1 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
V + V |
|
|
3 |
×10−3 + 4 ×10−3 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0,14 ×106 |
Н |
|
= 0,14 МПА = 1,4 ×105 |
Па |
|
|
|
|||||||
м2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: P = 1,4 ×105 Па .
Задача 2. Какая часть молекул кислорода при температуре Т = 273 К обладает скоростями, лежащими в интервале от v1 = 100 м/с до v2 = 110 м/c? Чему равна наиболее вероятная скорость движения молекул?
T = 273 K
v1 = 100 м/ c Дано: v2 = 110 м/ c
m = 32 ×10−3 кг / моль
N
Найти: vв ,
N
Решение: Найдем наиболее вероятную скорость молекул:
vв = |
2RT |
, |
|
μ |
|||
|
|
где R – газовая постоянная; m – молярная масса.
Подставим численные значения:
vв = |
|
2 × 8,31× 273 |
|
= 375,5 м/ c . |
|
32 ×10−3 |
|||||
|
|
|
|
Интервал скоростей: v = v2 − v1 |
= 110 −100 = 10 м/ c . |
|
|||||||
Это много меньше v1 и v2 . Поэтому можно использовать приближенную |
|||||||||
формулу: |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
N = N |
4 |
|
e −u 2 u 2 u , |
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
π |
|
||
где |
|
N – |
число частиц, обладающих скоростями в интервале от v1 |
до v2 ; |
|||||
N – |
полное число частиц, |
|
|
|
|
|
|||
u = |
v |
; |
u = v . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
vв |
vв |
|
|
|
|
|
|
Относительное число частиц или доля молекул, обладающих скоростями
v
взаданном интервале, найдем из формулы (1) при u = 1 :
vв
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N = |
u |
|
e −u 2 u 2 u . |
(2) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
π |
|
||
Вычислим: |
|
u = |
v1 |
= |
100 |
|
= 0,27 |
, |
|
подставим в (2) и |
учтем, что |
||||||
v в |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
375,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
e −u 2 = e −0,073 |
≈1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N = |
|
4 |
|
e−0,073 (0,27)2 |
|
10 |
= 0,0043 = 0,43% . |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3,14 |
|
||||||||||||||||
N |
|
|
|
375,5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответ: NN = 0,43% , vв = 375,5 м/ c .
Задача 3. Найти длину волны де Бройля для электрона, кинетическая энергия которого равна: 1) 10 кэВ; 2) 1 МэВ.
W1 = 10 кэВ = 10 ×103 ×1,6 ×10−19 Дж = 1,6 ×10−15 Дж
Дано: W2 = 1 мэВ = 106 ×1,6 ×10−19 Дж = 1,6 ×10−13 Дж m = 9,1×10−31 кг
Найти: λ1 , λ2 .
Решение: Длина волны де Бройля связана с импульсом:
λ= h p ,
где |
h = 6,63 ×10−34 Дж × с - постоянная Планка; |
р – |
импульс частицы. |
Импульс частицы зависит от ее скорости. Если скорость движения частицы много меньше скорости света в вакууме (v<<c), то это случай нерелятивистский. Если скорость движения частицы соизмерима со скоростью света в вакууме, то это случай релятивистский. Импульс частицы связан с
энергией. Поэтому, чтобы выяснить, какой это случай, вычислим энергию покоя частицы и сравним ее с энергией движущейся частицы. Вычислим энергию покоя электрона:
E0 = mc2 = 9,1×10−31(3 ×108 )2 = 8,16 ×10−14 Дж .
Сравним кинетическую энергию электрона с энергией покоя Eo .
В первом случаеW1 << E0 , значит это случай нерелятивистский и импульс равен: p = mv. Импульс связан с кинетической энергией соотношением:
W = mv2 |
|
= p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2m |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
p = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Отсюда: |
|
|
2mW . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Тогда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6,63 ×10−34 |
|||||||||||
l1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1,22 ×10−10 м . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2mW1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 × 9,1×10−31 ×1,6 ×10−15 |
||||||||||||||||||||
Во втором случае W2 > E0 , значит это случай релятивистский. Импульс |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
p = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
равен: |
|
|
W(W + 2E0 ) |
, где с – |
скорость света. Тогда: |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hc |
|
|
|
|
6,63 ×10−34 × 3 ×108 |
|||||||||||||||
l2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= 8,7 ×10−13 м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
W2 (W2 + 2E0 ) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1,6 ×10−13 (1,6 ×10−13 + 2 × 8,16 ×10−14 ) |
||||||||||||||||||||||||
Ответ: l |
|
|
= 1,22 ×10−10 м, l |
2 |
= 8,7 ×10−13 м . |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||