где I – момент инерции тела, m – масса.
Длина наклонной плоскости l связана с высотой соотношением (рис. 2):
h = l sin α. |
|
|
|
(2) |
||||
Линейная скорость связана с угловой: |
|
|
|
|
|
|
||
ω = |
v |
|
|
|
|
|
|
|
R . |
|
|
|
|
(3) |
|||
|
|
|
|
|
||||
После подстановки (2) и (3) в (1), получим: |
|
|
|
|
||||
|
|
|
v2 |
|
I |
|
|
|
mgl sin α = |
|
|
m + |
|
|
. |
(4) |
|
|
2 |
R |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Так как движение происходит под действием постоянной силы (силы тяжести), то движение тел - равноускоренное. Поэтому:
|
l = |
at2 |
, |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
и |
|
|
v = at . |
||||
Решая совместно (4), (5) и (6), |
получим: |
||||||
|
a = |
mg sin α |
. |
||||
|
|
||||||
|
|
|
m + |
I |
|
|
|
|
|
R 2 |
|||||
|
|
|
|
|
|||
Моменты инерции: |
|
|
|
|
|
|
|
(5)
(6)
(7)
для шара: |
I = |
2 |
mR 2 , |
|
|||
|
5 |
|
|
для диска: I = 1 mR 2 .
2
Подставляя выражение для момента инерции в формулу (7), получим:
|
a = |
|
mg sin α |
|
|
|
|
= |
5 |
g sin α = |
5 |
9,8sin 300 = 3,5 м/ c2 ; |
|||||||||||||
для шара: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
ш |
|
|
|
|
|
2 |
|
mR |
7 |
|
7 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
m + |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
R 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
для диска: |
a д = |
|
mg sin α |
|
|
= |
2 |
g sin α = |
2 |
9,8sin 300 |
= 3,27 м/ c2 |
||||||||||||||
|
|
|
1 mR 2 |
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||
|
m + |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
R 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: aш = 3,5 м/ c2 , |
|
aд |
= 3,27 м/ c2 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
7.2. Электричество и магнетизм
7.2.1. Пояснение к рабочей программе
Электрические и магнитные явления связаны особой формой существования материи – электромагнитным полем. Основой теории электромагнитного поля является теория Максвелла.
Изучение основ электродинамики традиционно начинается с электрического поля в вакууме. Силовой характеристикой электрического поля является напряженность E , энергетической – потенциал ϕ. Следует обратить внимание на связь между E и ϕ . Для вычисления силы взаимодействия между двумя точечными зарядами и вычисления напряженности электрического поля, созданного точечным зарядом, нужно уметь применять закон Кулона. Для вычисления напряженностей полей, созданных протяженными зарядами (заряженной нитью, плоскостью и т.д.), применяется теорема Гаусса. Для системы электрических зарядов необходимо применять принцип суперпозиции (задачи 201-220 контрольной работы). При изучении темы «Постоянный ток» необходимо рассмотреть во всех формах законы Ома и Джоуля-Ленца. В контрольной работе это задачи 221-230. При изучении «Магнетизма» необходимо иметь в виду, что магнитное поле порождается движущимися зарядами и действует на движущиеся заряды. Здесь следует обратить внимание на закон Био-Савара-Лапласа. Нужно знать этот закон и уметь применять его для расчета вектора магнитной индукции – основной характеристики магнитного поля (в контрольной работе это задачи 231-240). Особое внимание следует обратить на силу Лоренца и рассмотреть движение заряженной частицы в магнитном поле (задачи 241-250). При изучении явления электромагнитной индукции необходимо усвоить, что механизм возникновения ЭДС индукции имеет электронный характер. Основной закон электромагнитной индукции – это закон Фарадея-Ленца. Согласно этому закону, ЭДС индукции в замкнутом контуре возникает при изменении магнитного потока, сцепленного с контуром. Необходимо знать, как вычисляется магнитный поток, ЭДС индукции, как рассчитывается работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле и энергия магнитного поля (в контрольной работе задачи 251-260).
7.2.2. Основные формулы
Закон Кулона: |
|
F = |
q1q2 |
, |
|
4πε0εr2 |
|||
где q1 и q2 - величины точечных зарядов, |
|
|
|
|
ε0 - электрическая постоянная; |
e0 = 8,85 ×10−12 |
Ф/ м; |
|
|
ε- диэлектрическая проницаемость изотропной среды (для вакуума
ε= 1);
r – расстояние между зарядами.
|
R |
F |
|
|
E = |
, |
|
Напряженность электрического поля: |
|
||
|
q0 |
||
|
|
||
R
где F – сила, действующая на заряд q 0 , находящийся в данной точке
поля.
Напряженность поля на расстоянии r от
источника поля:
|
E = |
|
q |
, |
|||
точечного заряда |
|
4πε0εr2 |
|||||
бесконечно длинной заряженной |
|
|
|
|
|
|
|
нити с линейной плотностью заряда τ: |
E = |
|
τ |
|
|||
|
|
|
, |
||||
|
2πε0εr |
||||||
равномерно заряженной бесконечной |
|
|
|
|
|
|
|
плоскости с поверхностной плотностью |
|
|
|
|
|
|
|
заряда σ: |
E = |
|
|
σ |
, |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2ε0ε |
|
||||
|
|
|
|
||||
между двумя разноименно заряженными
плоскостями
Потенциал электрического поля:
где W – потенциальная энергия заряда q 0 .
Потенциал поля точечного заряда на
расстоянии r от заряда:
По принципу суперпозиции полей, напряженность
потенциал:
E = σ . εε0
ϕ = |
W |
|
|
|
|
|
q0 |
, |
|
|
|||
|
|
|
|
|||
ϕ = |
|
q |
|
|
. |
|
|
|
|||||
4πεε |
r |
|||||
|
|
|
|
0 |
|
|
R |
|
N |
R |
|
|
|
E = ∑Ei ,
i =1
N
ϕ= ∑ϕi ,
i=1
R |
|
|
|
|
|
|
|
где E i и ϕi - напряженность и потенциал в данной |
|
|
|
|
|
|
|
точке поля, создаваемый i-м зарядом. |
|
|
|
|
|
|
|
Работа сил электрического поля по перемещению |
|
|
|
|
|
|
|
заряда q из точки с потенциалом ϕ1 в точку с потенциалом ϕ2 : |
|
||||||
A = q(ϕ1 − ϕ2 ) . |
|
||||||
Электроемкость уединенного проводника: |
C = |
q |
. |
|
|||
|
|
|
|||||
|
|
ϕ |
|
||||
Электроемкость конденсатора: |
C = |
q |
|
, |
|||
U |
|||||||
|
|
|
|
||||
где U = ϕ1 − ϕ2 - напряжение.
Электроемкость плоского конденсатора:
где S – площадь пластины (одной) конденсатора, d – расстояние между пластинами.
Энергия заряженного конденсатора:
Сила тока:
Плотность тока:
где S – площадь поперечного сечения проводника. Закон Ома
для однородного участка цепи:
Сопротивление проводника:
ρ - удельное сопротивление; l – длина проводника; S – площадь поперечного сечения.
C = ε0εS , d
W = CU 2 . 2
I = dq . dt
j = I , S
I = U , R
R = ρl , S
в дифференциальной форме: |
|
|
j = |
E |
, |
||
|
|
ρ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
для участка цепи, содержащего ЭДС |
I = |
(ϕ1 − ϕ2 ) ± ε |
|
, |
|||
|
|
|
|||||
где ε - ЭДС источника тока; |
|
|
R + r |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
R и r – внешнее и внутреннее сопротивления цепи; |
|
|
|
|
|
|
|
|
I = |
ε |
|
|
|||
для замкнутой цепи: |
|
. |
|
|
|||
R + r |
|
|
|||||
Закон Джоуля-Ленца:
для однородного участка цепи постоянного тока
где Q – количество тепла, выделяющееся в проводнике с током;
t – время прохождения тока;
для участка цепи с изменяющимся со временем током
Мощность тока: Магнитная индукция
и напряженность магнитного поля :
Q = I2Rt,
t 2
Q = ∫I2 (t)Rdt .
t1
P = I 2 R .
R R
B = μμ0H,
где B - вектор магнитной индукции,
μ - магнитная проницаемость изотропной среды (для вакуума μ = 1);
μ0 - магнитная постоянная m0
H - напряженность магнитного поля.
Магнитная индукция (индукция магнитного поля):
в центре кругового тока
где R – радиус кругового тока,
= 4p ×10−7 Гн/ м ;
B = mm0I ,
2R
поля бесконечно длинного прямого тока |
|
B = mm0I , |
|
|
|||
где r – кратчайшее расстояние до оси проводника; |
|
2pr |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
поля, созданного отрезком проводника |
|
|
|
|
|
||
с током |
B = |
μμ0I (cosα + cos α |
2 |
), |
|||
|
4πr |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
где α1 и α2 - углы между отрезком проводника и линией, |
|
|
|
||||
соединяющей концы отрезка и точкой поля; |
|
|
|
|
|
||
поля бесконечно длинного соленоида |
|
B = μμ0 nI, |
|
|
|||
где n – число витков на единицу длины соленоида. |
R |
R |
R |
||||
|
|
|
|
||||
Сила Лоренца: |
|
F |
= q[v, B], |
||||
по модулю |
|
F = qvB sin α, |
|||||
где |
R |
сила, действующая на заряд, движущийся |
|
|
|
|
|
F - |
|
|
|
|
|
||
вмагнитном поле;
v- скорость заряда q;
α- угол между векторами R и R .
vB
Поток вектора магнитной индукции (магнитный поток через площадку S):
для однородного магнитного поля |
|
|
Ф = BS cos α , |
|
|||||
R |
и нормалью к площадке; |
|
|
||||||
где α - угол между вектором B |
|
|
|||||||
для неоднородного поля |
|
|
|
|
Ф = ∫B cos αdS . |
||||
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
Потокосцепление (полный поток): |
|
|
Ψ = NФ, |
|
|
||||
где N – число витков катушки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Закон Фарадея-Ленца: |
εi = − |
dΨ |
или εi |
= |
dФ |
(для N = 1) |
, |
||
dt |
|
||||||||
где εi - ЭДС индукции. |
|
|
|
dt |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЭДС самоиндукции: |
|
|
|
|
es = -L |
dI |
, |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где L – индуктивность контура.