7. УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ПО РАЗДЕЛАМ КУРСА ФИЗИКИ
7.1. Физические основы механики
7.1.1. Пояснение к рабочей программе
Физика, наряду с другими естественными науками, изучает объективные свойства окружающего нас материального мира. Физика исследует наиболее общие формы движения материи. Простейшей и наиболее общей формой движения является механическое движение. Механическим движением называется процесс изменения взаимного расположения тел в пространстве и с течением времени. Классическая механика изучает движение макроскопических тел, совершаемых со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света в вакууме. Законы классической механики были сформулированы И. Ньютоном в 1687 году, но не утратили своего значения в наши дни. Движение частиц со скоростями порядка скорости света рассматривается в релятивистской механике, основанной на специальной теории относительности, а движения микрочастиц изучается в квантовой механике. Это значит, что законы классической механики имеют определенные границы применимости.
Механика делится на три раздела: кинематику, динамику и статику. В разделе кинематики рассматриваются такие кинематические характеристики движения, как перемещение, скорость, ускорение. Здесь необходимо использовать аппарат дифференциального и интегрального исчисления. В контрольной работе – это задачи 101-110.
В основе классической динамики лежат три закона Ньютона. Здесь необходимо обратить внимание на векторный характер действующих на тела сил, входящих в эти законы (задачи 111-120).
Динамика охватывает такие вопросы, как закон сохранения импульса (задачи 121-130), закон сохранения полной механической энергии, работа силы
(задачи 131-140).
При изучении кинематики и динамики вращательного движения следует обратить внимание на связь между угловыми и линейными характеристиками. Здесь вводятся понятия момента силы, момента инерции, момента импульса и рассматривается закон сохранения момента импульса (задачи 141-160).
7.1.2. Основные формулы
|
|
R |
||
|
R |
dr |
||
|
v = |
|
|
|
Скорость мгновенная: |
dt , |
|||
|
||||
где r - радиус-вектор материальной точки, t - время;
R
dr - производная радиус-вектора материальной точки по времени.
dt |
|
|
|
|
Модуль вектора скорости: |
v = |
ds |
, |
|
dt |
||||
|
|
|
где s – расстояние вдоль траектории движения (путь)
Скорость средняя (модуль):
Ускорение мгновенное:
Модуль вектора ускорения при прямолинейном
движении:
Ускорение при криволинейном движении:
нормальное
где R – радиус кривизны траектории,
тангенциальное
полное (вектор)
(модуль)
Скорость и путь при движении:
равномерном
< v >= s , t
s= s2 −s1 ,
t= t 2 − t1 .
R
R = dv a dt .
a = dv . dt
an |
= |
|
v2 |
|
|
|
||
R , |
||||||||
|
|
|
||||||
a τ |
= |
dv |
; |
|
||||
|
|
|||||||
|
|
|
dt |
|
|
|||
R |
|
|
R |
R |
||||
a |
= a n |
+ a τ ; |
||||||
|
|
|
||||||
a = an2 + aτ2 . |
||||||||
v = const , |
s = vt ; |
|||||||
равнопеременном
v0 - начальная скорость
а> 0 при равноускоренном движении
а< 0 при равнозамедленном движении
Угловая скорость:
где ϕ - угловое перемещение.
Угловое ускорение:
Связь между линейными и угловыми
величинами:
Импульс материальной точки:
v = v0 |
+ at, s = v0 t + |
at 2 |
. |
|
|||
|
2 |
|
|
ω = dϕ , dt
ε = dω . dt
s = ϕR, |
v = ωR, |
||||
a |
τ |
= εR, |
a |
n |
= ω2 R. |
|
|
|
|
||
p = mv ,
где m – масса материальной точки.
Основное уравнение динамики поступательного
движения (II закон Ньютона):
R |
R N R |
|
F = ∑Fi . |
||
где F - результирующая сила, |
||
|
i =1 |
|
Формулы сил: |
|
тяжести
где g – ускорение свободного падения;
трения
где μ – коэффициент трения;
N – сила нормального давления;
упругости
R
R = dp F ,
dt
R = R
F ma,
P = mg ,
Fтр = μN ,
Fупр = −k x ,
где k – коэффициент упругости (жесткости); х – деформация (изменение длины тела). Закон сохранения импульса для замкнутой
|
|
|
R |
+ m |
R |
R |
|
|
|
|
|
R |
|
системы, состоящей из двух тел |
m1v1 |
2 v2 |
= m1u1 + m |
2 u 2 , |
|
||||||||
|
R |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где v1 |
и v2 - скорости тел до взаимодействия; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
R |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u1 |
и u2 - скорости тел после взаимодействия. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Потенциальная энергия тела: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
поднятого над Землей на высоту h |
|
|
Wп = mgh ; |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
W = |
|
k( x)2 |
. |
||||
|
упругодеформированного |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кинетическая энергия поступательного движения |
|
Wк = |
mv 2 |
. |
|
||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Работа постоянной силы |
|
|
|
A = F s cos α , |
|||||||||
где α - угол между направлением силы и направлением |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
перемещения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Полная механическая энергия: |
|
|
|
W = Wк + Wп . |
|||||||||
Закон сохранения энергии: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
силы консервативны |
|
|
|
|
|
|
W1 = W2 ; |
|||||
|
силы неконсервативны |
|
A = |
W |
W = W2 −W1 , |
||||||||
где W1 – энергия системы тел в начальном состоянии; W2 – энергия системы тел в конечном состоянии.
Момент инерции тел массой m относительно оси, проходящей через центр инерции (центр масс):
тонкостенного цилиндра (обруча)
где R – радиус;
сплошного цилиндра (диска)
шара
I0 = mR 2 ,
I0 = 1 mR 2 ; 2
I0 = 2 mR 2 ; 5
стержня длиной l, если ось вращения перпендикулярна стержню и
проходит через его середину |
I0 = |
1 |
ml 2 . |
|
|
|
|||
|
12 |
|
|
|
Момент инерции тела относительно произвольной оси |
|
|||
(теорема Штейнера): |
|
|
I = I0 + md2 , |
|
где I 0 - момент инерции тела относительно оси, проходящей |
|
|||
через центр масс; d – расстояние между осями. |
M = Fl , |
|||
Момент силы: |
|
|
|
|
где l – плечо силы. |
|
|
R |
R |
|
|
|
||
Основное уравнение динамики вращательного движения: M = Iε , |
||||
где ε - угловое ускорение; |
R |
|
||
M - результирующий момент сил. |
|
|||
Момент импульса: |
|
|
|
L = mvr , |
материальной точки относительно неподвижной точки |
||||
где r – плечо импульса;
твердого тела относительно неподвижной оси вращения L = Iω .
|
|
|
|
R |
|
Закон сохранения момента импульса |
|
L |
1 = L2 , |
||
R |
|
|
|
|
|
где L1 - момент импульса системы в начальном состоянии; |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
L2 - момент импульса системы в конечном состоянии. |
|
|
|
Iω2 |
|
|
W = |
|
|||
|
|
||||
Кинетическая энергия вращательного движения: |
к |
2 . |
|||
Работа при вращательном движении: |
A = M ϕ , |
||||
где Δϕ - изменение угла поворота. |
|
|
|
|
|
7.1.3. Примеры решения задач по механике
Задача 1. Движение тела массой 2 кг задано уравнением: s = 6t3 + 3t + 2 , где путь выражен в метрах, время – в секундах. Найти зависимость ускорения от времени. Вычислить равнодействующую силу, действующую на тело в конце второй секунды, и среднюю силу за этот промежуток времени.
m = 2 кг
s = 6t3 + 3t + 2
Дано: t1 = 0 t2 = 2 c
Найти: a(t), F, < F >
Решение: Модуль мгновенной
скорости находим как производную от |
|
||
пути по времени: |
Рис. 1 |
||
|
ds |
|
|
v = |
= 18t2 + 3. |
|
|
|
|
||
|
dt |
|
|
Мгновенное тангенциальное ускорение определяется как производная от модуля скорости по времени:
aτ = |
dv |
= 36t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Среднее ускорение определяется выражением: |
|
|
|
|
|
||||||||||||
< a >= |
|
v = |
v2 − v1 |
, |
|
где v |
|
= 18t2 + 3; |
v |
= 18t |
2 |
+ 3 |
. |
||||
|
|
|
2 |
1 |
|||||||||||||
|
|
|
t |
|
t2 − t1 |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
После подстановки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
< a >= |
18(t2 |
− t2 ) |
= 18(t |
|
+ t |
) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
t2 − t1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Равнодействующая сила, действующая на тело, определяется по второму |
|||||||||||||||||
закону Ньютона: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
F = ma, < F >= m < a > |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F = m × 36 × t, |
|
F = 2кг × 36 × 2м / с2 =144 H |
|
|
|
|
|
||||||||||
< F >= m ×18(t2 + t1 ); < F >= 2 ×18 × 2 = 72 H
Ответ: a(t) = 36t, F = 144 H, <F> = 72 H.
Задача 2. По наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол 30°, движется тело массой 5 кг. К этому телу с помощью нерастяжимой нити, перекинутой через блок, привязано тело такой же массы, движущееся вертикально вниз (рис. 1). Коэффициент скольжения между телом и наклонной плоскостью 0,05. Определить ускорение тел и силу натяжения нити.
m1 = m2 = 5 кг
Дано: α = 300
μ = 0,05
Найти: a, Fн
Решение: Покажем на рисунке силы, действующие на каждое тело. Запишем для каждого из тел уравнение движения (второй закон Ньютона):
|
R |
R |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
m g |
|
= m a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
н |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
R |
|
R |
R |
= m |
|
R |
|
|
|
||
m |
g |
+ F |
|
+ N |
+ F |
2 |
a . |
|
|
|
||||
|
2 |
|
н |
|
тр |
|
|
|
|
|
|
|
||
В проекциях на выбранные оси координат: |
||||||||||||||
m1g − Fн = m1a |
(на ось z); |
|
|
|
||||||||||
− Fн |
+ m 2 g sin α + Fтр |
= −m 2 a |
(на ось x); |
|||||||||||
N − m 2 g cos α = m 2 0 |
|
|
(на ось y). |
|
|
|||||||||
Учитывая, что Fтр = μN , где |
N = m2g cosα, получим систему уравнений: |
|||||||||||||
m1g − Fн = ma1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
− F + m |
2 |
g sin α + μm |
2 |
g cos α = −m |
2 |
a . |
||||||||
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вычтем из первого уравнения второе:
m1g −m2 g sin α −μm2 g cosα = m1a + m2 a .
Искомое ускорение равно:
a = m1g − m 2 g sin α − μm 2 g cos α |
|
m1 + m 2 |
|
Вычислим ускорение а: |
|
a = 5 × 9,8 - 5 × 9,8sin 300 - 0,05 × 5 × 9,8cos 300 |
= 2,28 м/ c2 |
5 + 5 |
|
Силу натяжения найдем из первого уравнения системы:
Fн = m1g - m1a;
Fн = 5 ×9,8 - 5 × 2,28 = 38,6 Н.
Ответ: a = 2,28 м/ c2 , Fн = 38,6 Н.
Задача 3. Найти линейные ускорения движения центров тяжести шара и диска, скатывающихся без скольжения с наклонной плоскости. Угол наклона плоскости равен 30°. Начальная скорость тел равна нулю.
α = 300
Дано: v0 = 0 |
h |
α |
|
Найти: аш , ад |
|
Рис. 2
Решение: При скатывании тела с наклонной плоскости высотой h его потенциальная энергия переходит в кинетическую поступательного и вращательного движения. По закону сохранения энергии:
mgh = |
mv 2 |
+ |
Iw2 |
, |
(1) |
|
|
||||
2 |
2 |
|
|
||