Индуктивность соленоида: |
|
|
L = μμ0n2V, |
||||||
где n – число витков на единицу длины соленоида, |
n = |
N |
; |
|
|||||
l |
|||||||||
V – |
объем соленоида. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Энергия магнитного поля: |
W = |
1 |
LI2 = |
B2 |
|
V . |
|||
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
2μμ0 |
|||||
Заряд, протекающий по замкнутому контуру при |
|
|
|
|
|
||||
изменении магнитного потока через контур: |
|
|
q = |
|
Ф , |
||||
|
|
|
R |
|
|
||||
|
Ф = Ф2 − Ф1 - изменение магнитного потока; |
|
|
|
|||||
где |
|
|
|
|
|
||||
|
R – сопротивление контура. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Работа по перемещению замкнутого контура с током I в магнитном поле:
A = I Ф.
7.2.3. Примеры решения задач по электричеству и магнетизму
Задача 1. Два равных отрицательных заряда по 9 нКл находятся в воде на расстоянии 8 см друг от друга. Определить напряженность и потенциал поля в точке, расположенной на расстоянии 5 см от зарядов.
q = q |
2 |
= -9 ×10−9 |
Кл, |
|
1 |
|
|
|
|
e = 81, |
|
|
||
Дано: r |
= 0,08 м, |
|
||
0 |
|
|
|
|
r1 = r2 = 0,05 м
Найти: Е, ϕ.
Решение: Напряженность поля в точке А (рис. 3) по принципу суперпозиции равна:
R R R
E = E1 + E 2 .
Рис. 3
По теореме косинусов:
E = 
E12 + E22 + 2E1E2 cos 2α .
Напряженность поля точечного заряда:
E = |
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
4pee0r2 |
|
= q 2 , |
r1 = r2 , следовательно, E1 = E2 . Тогда: |
||||||||
По условию q1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
E = |
|
E2 |
+ E2 |
+ 2E2 cos2a = E |
|
|
|
. |
|||
|
2 |
1 + cos2a |
|||||||||
|
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
||
Но cos 2a = cos2 a - sin2 a, поэтому:
1 + cos 2a = 
1 + cos2 a - sin2 a = 
cos2 a + cos2 a = 
2 cos a
и результирующая напряженность равна:
E = E1 
2 cos α
2 = 2E1 cos α .
Обозначим АВ = h. Тогда cos a = h . r1
По теореме Пифагора:
h = 
r12 - r02 / 4 = 
(5 ×10−2 )2 - (4 ×10−2 )2 = 3 ×10−2 м .
E = |
2q h |
|
; |
E = |
2 ×10−4 × 3 ×10−2 |
|
|
|
= 480 В/ м. |
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
4pee r |
3 |
4 × 3,14 × 81× 8,85 ×10 |
−12 |
× (5 |
×10 |
− 2 |
) |
||||
0 1
Потенциал ϕ результирующего поля в точке А равен:
ϕ = ϕ1 + ϕ2 .
Потенциал поля, создаваемого точечным зарядом, равен:
ϕ = |
q |
|
|
4πεε0r . |
|||
|
|||
Но по условию q1 = q 2 . Тогда j1 = j2 , следовательно:
ϕ = ϕ1 + ϕ2 = 2ϕ1 |
= |
|
|
2q |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4πεε |
0 r1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
j = |
|
|
|
|
|
- 2 × 9 ×10−9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= -40 B . |
|||||||||
|
× 3,14 × 81 |
× 8,85 ×10 |
−12 |
× |
|
5 ×10 |
−2 |
||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Проверка размерности: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
[E] = |
[q]× |
[h] |
|
|
|
Кл × м |
|
|
|
|
|
Кл / Ф |
|
В |
|||||||||||
[ |
] |
[ |
|
3 ] |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
. |
||||
(Ф / м) × м |
3 |
|
|
|
|
м |
м |
||||||||||||||||||
|
|
e0 |
× |
r1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
[j] = |
[q] |
|
|
= |
|
|
Кл |
|
|
= |
|
Кл |
|
= В. |
|
|
|
||||||||
[e0 |
][r1 ] |
|
(Ф/ м) × м |
|
|
Ф |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Ответ: Е = 480 В/м; |
ϕ = –40 |
|
В. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Задача 2. Электрон, ускоренный разностью потенциалов 6 кВ, влетает в однородное магнитное поле под углом 30° к направлению поля и начинает
двигаться по спирали. Индукция магнитного поля равна В = 1,3 ×10−2 Тл . Найти радиус витка и шаг спирали.
|
U = 6 кВ = 6 ×103 В, |
|
|
q = 1,6 ×10−19 Кл, |
|
Дано: |
m = 9,1×10−31 кг, |
|
a = 300 , |
|
|
|
|
|
|
B = 1,3 ×10−2 |
Тл |
Найти: R, h |
Рис. 4 |
|
Решение: Скорость электрона найдем из условия, что работа сил электрического поля затрачивается на изменение кинетической энергии электрона: А = W. Работа в электрическом поле равна произведению заряда на разность потенциалов: А = qU. Начальная кинетическая энергия равна нулю, поэтому W = W. Следовательно:
qU = |
mv2 |
|
; |
отсюда |
v = |
|
2qU |
|
. |
(1) |
2 |
|
m |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Разложим |
скорость |
электрона, |
влетающего |
в магнитное поле, на две |
||||||
составляющие: v −− - составляющая скорости, направленная вдоль силовых
линий поля и v - составляющая скорости, направленная перпендикулярно силовым линиям поля. Из рис. 4:
v = vsin α, v−− = vcosα .
R
Проекция траектории электрона на плоскость, перпендикулярную к B , представляет собой окружность, следовательно, сила Лоренца сообщает частице нормальное (центростремительное) ускорение. Сила Лоренца равна:
Fл = qvB sin α = qv B .
Центростремительное ускорение:
a n |
= |
v2 |
|
, |
|
|
|
|
|
|||
R |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где R – радиус окружности. |
|
|||||||||||
По второму закону Ньютона: F = ma. |
|
|||||||||||
Тогда: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
qv |
|
B = m |
v2 |
. |
|
|
||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Отсюда: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
R = mv |
|
= mv sin α . |
(2) |
|||||||||
|
|
|
qB |
|
|
|
|
qB |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Период обращения равен:
T = 2πR = 2πm . v qB
Так как скорость частицы имеет составляющую v−− , то траектория
частицы представляет собой винтовую линию. Шаг винтовой линии равен:
h = v |
−− |
T = |
v cos α2πm |
. |
(3) |
|
|||||
|
|
qB |
|||
|
|
|
|
||
Проверка размерности расчетных формул (2) и (3).
[R] = [h] = |
[m]× [v] |
= |
кг × м/ с |
||
[q]× [B] |
|
Кл × Тл |
|||
|
|
||||
Размерность произведения [q] [B] найдем из выражения для силы Лоренца:
[q]× [B] = [F] [v] .
По второму закону Ньютона: F = ma: т.е.
Н = кг × м/ c2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Тогда: [q]× [B] = Кл × Тл = |
|
|
Н |
|
= |
|
кг × м |
= |
кг |
. |
|||||||||
м/ c |
с2 × м/ c |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
с |
||||||||||||
Следовательно, [R] = [h] = |
|
кг × м |
|
= м . |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
с× кг/ c |
|
|
|
|
|
||||||
Подставим численные значения в (1), (2) и (3). |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
v = |
|
|
|
2 ×1,6 ×10−19 × 6 ×103 |
= 4,6 ×10 |
7 |
м/ c ; |
||||||||||||
|
|
|
9,1×10−31 |
|
|
||||||||||||||
R = |
9,1×10−31 × 4,6 ×107 × sin 30o |
|
= 10− 2 м = 1 см ; |
||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
1,6 ×10−19 ×1,3 ×10− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
h = |
4,6 ×107 cos 600 × 2 × 3,14 × 9,1×10−31 |
= 11×10− 2 м = 11 см |
|||||||||||||||||
|
|
|
1,6 ×10−19 ×1,3 ×10− 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ: R = 1 см, h = 11 см.
Задача 3. Проволочное кольцо радиусом 10 см лежит на столе. Какой заряд потечет по кольцу, если его повернуть с одной стороны на другую. Сопротивление кольца 1 Ом. Вертикальная составляющая индукции магнитного поля Земли равна 50 мТл.
r = 10 см = 0,1 м, R = 1 Ом,
Дано: B = 50 мТл = 50 ×10−3 Тл, a1 = 0
a2 = 1800
Найти: q
Решение: По определению сила тока равна производной от заряда по времени:
I = dq . dt
Отсюда заряд, который потечет по проводнику, определяется равенством:
q = ∫dq = ∫Idt |
(1) |
По закону Ома для замкнутой цепи сила тока равна:
I = |
ε |
, |
|
|
(2) |
||
|
R |
||
|
|
||
где ε - ЭДС источника; R – сопротивление цепи.
Ток в кольце появляется благодаря ЭДС индукции. Поэтому ε = εi . ЭДС индукции найдем по закону Фарадея-Ленца:
ε = − |
dФ |
|
|
|
dt , |
(3) |
|||
i |
||||
|
|
|
||
dФ
где dt – скорость изменения магнитного потока. Подставим (3) в (2):
I = − |
1 |
|
dФ |
|
|
|
R dt . |
(4) |
|||||
|
||||||
Подставим (4) в (1): |
|
|||||
dq = − |
1 |
|
dФ |
dt = − |
dФ |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
|
||||||||
|
|
|
R dt |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Проинтегрируем (5), получим: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
q = |
∫ |
dq = −Ф2 |
1 |
dФ = − |
1 |
(Ф − Ф ) = |
1 |
(Ф − Ф ). |
, |
|||||||||
|
|
R |
||||||||||||||||
|
|
|
|
∫ |
R |
|
R |
2 |
1 |
1 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Ф1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Ф2 – магнитный поток, пронизывающий кольцо после поворота на угол
180°; Ф1 – |
магнитный поток до поворота. |
|
|
|
|
|||||||||
Ф1 и |
|
Ф2 вычисляются по формулам: |
|
|
|
|
||||||||
Ф1 |
= BScosα1; |
Ф2 |
= BScosα2 . , |
|
|
|
|
|||||||
где |
|
В – индукция магнитного поля; S = πr2 |
- площадь кольца; |
|||||||||||
α – |
угол между нормалью к площади кольца и линиями индукции. |
|||||||||||||
Тогда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
q = |
|
|
1 |
(BScos α − BScos α |
|
) = |
1 |
Bπr2 (cos α − cos α |
|
) |
. |
|||
|
|
|
2 |
|
2 |
|||||||||
|
|
R |
1 |
|
|
R |
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||