|
света; |
|
|
|
|
|
|
|
|
L – |
расстояние от источника до экрана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Условие главных максимумов дифракционной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решетки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d sin ϕ = ±mλ, m = 0,1,2... , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где d – постоянная дифракционной решетки; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ – |
угол дифракции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Разрешающая способность дифракционной |
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
R = |
|
= mN |
|
|||
решетки: |
|
|
|
, |
|||||
|
|
|
|
|
λ |
||||
где Δλ – минимальная разность длин волн двух |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
спектральных линий, разрешаемых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решеткой; |
|
|
|
|
|
|
|
|
m – |
порядок спектра; |
|
|
|
|
|
|
|
|
N – |
общее число щелей решетки. |
|
|
|
|
I = I0 cos2 α , |
|||
Закон Малюса: |
|
|
|
|
|||||
где I0 – интенсивность плоско-поляризованного |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
света, падающего на анализатор; |
|
|
|
|
|
|
|
|
I – интенсивность света, прошедшего через |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α – |
анализатор; |
|
|
|
|
|
|
|
|
угол между плоскостью поляризации падающего |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
света и главной плоскостью анализатора. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Связь интенсивности естественного света Iест |
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
интенсивностью света, прошедшего поляризатор |
|
|
|
|
|
|
|
||
(и падающего на анализатор): |
I0 |
= |
1 |
I |
ест × (1 - k) , |
|
|||
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
где k – относительная потеря интенсивности света
вполяризаторе.
7.3.3.Примеры решения задач по колебаниям, волнам и волновой оптике
Задача 1. Материальная точка массой 10 г совершает гармоническое колебание с периодом Т=1 с. Определить амплитуду колебаний, максимальную скорость и ускорение колеблющейся точки, если полная энергия точки равна
0,02 Дж.
m = 10 г = 10−2 кг
Дано: Т = 1 с
W = 0,02 Дж
Найти: A, vmax , amax |
|
|
|||||
Решение: Уравнение гармонического колебания запишем в виде: |
|
||||||
|
|
|
|
|
x = A sin(ωt + α) , |
(1) |
|
где х – смещение материальной точки от положения равновесия; |
|
||||||
А – |
амплитуда; |
|
|
||||
w – |
циклическая (круговая) частота; |
|
|||||
t – |
время,; |
|
|
||||
a – |
начальная фаза. |
|
|
||||
Скорость колеблющейся точки среды определяется как первая производная |
|||||||
от смещения по времени: |
|
|
|||||
v = |
dx |
= ωA cos(ωt + α) . |
|
|
|||
|
|
|
|
||||
|
|
|
dt |
vmax = ωA . |
|
||
Максимальное значение скорости: |
|
||||||
Ускорение точки определяется как производная от скорости по времени: |
|||||||
a = |
dv |
= −ω2A sin(ωt + α) . |
|
|
|||
|
|
|
|||||
|
|
|
dt |
|
|
||
Максимальное значение ускорения: |
amax = ω2 A . |
|
|||||
Полная энергия складывается из кинетической и потенциальной энергии и равна максимальной потенциальной или максимальной кинетической энергии:
W = mvmax2 = mω2A2 . 2 2
Круговая частота связана с периодом: ω = 2π . Тогда:
T
= m4π2 A2
W 2T2 .
Из этого выражения найдем амплитуду:
A = |
1 |
|
|
2W |
= |
T |
|
2W |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
ω |
m |
2π |
|
m |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Проверим размерность: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с× м |
|
||||||||||
[A]= |
1 |
|
|
Дж |
|
= с |
Н × м |
|
= с |
кг × м × м |
= |
= м. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
кг |
с2 × кг |
с |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
c−1 |
|
|
кг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Произведем вычисления: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
A = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 × 0,02 |
|
= 0,32 м , |
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 ×3,14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
0,01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
ω = 2π = 6,28 c−1 , T
v max |
= |
2 × 3,14 c -1 |
× 0,32 м = 2 |
м |
. |
|
1 |
|
с |
||||
|
|
|
|
|
||
amax |
= (6,28 c-1 )2 × 0,32 м = 12,6 м/ c2 . |
|||||
Ответ: А = 0,32 м, |
vmax = 2 м/с, amax = 12,6 м/ c2 . |
|||||
Задача 2. Период затухающих колебаний Т = 4 с, логарифмический декремент затухания χ = 1,6; начальная фаза равна нулю. Смещение точки в начальный момент времени равно 4,5 см. Написать уравнение колебаний и найти смещение точки в момент времени спустя период.
T = 4 c c = 1,6
t1 = 0
Дано: x1 = 4,5 см
t2 = T a = 0
Найти: x(t), x(t2 )
Решение: Уравнение затухающих колебаний имеет вид:
|
|
|
|
|
x = A0e−βt cos(ωt + α) , |
(1) |
где β – |
коэффициент затухания; ω – частота затухающих колебаний. |
|
||||
Найдем ω: |
|
|
||||
ω = |
2π |
= |
2π |
= π |
|
|
|
|
|
||||
|
T |
4 |
2 . |
|
||
Логарифмический декремент затухания связан с коэффициентом затухания: χ = βT . Отсюда:
b = c = 1,6 = 0,4.
T 4
Подставим ω, β, α в (1) и найдем смещение:
p |
|
|
x = A0e-0,4t cos |
2 |
t + 0 |
|
|
|
Для начального момента времени при t = 0:
x1 |
p |
|
= A0 |
= 4,5 см . |
|
= A0e-0,4×0 cos |
2 |
× 0 |
|||
|
|
|
|
|
|
Уравнение колебаний имеет вид:
x = 4,5e− 0,4 t cos π t . 2
Смещение в момент t 2 = T :
x2 = 4,5e-0,4×4 cos p × 4 = 4,5 × e-1,6 ×1 = 0,91 см . |
||
|
2 |
|
Ответ: |
x(t) = 4,5e−0,4 t cos π t, x |
2 = 0,91 см. |
|
2 |
|
Задача 3. На стеклянный клин падает нормально монохроматический свет (l = 698 нм). Определить угол между поверхностями клина, если расстояние между соседними интерференционными минимумами в отраженном свете равно 2 мм.
n = 1,5
Дано: l = 698 нм = 6,98 ×10−7 м l = 2 мм = 2 ×10−3 м
Найти: j
Рис. 5
Решение: Параллельный пучок света, падая нормально к грани, отражается как от верхней (луч 1), так и от нижней (луч 2) грани клина (рис. 5). Лучи 1 и 2 когерентны между собой и интерферируют. Интерференционная картина представляет собой чередование темных и светлых полос. Темные полосы видны на тех участках клина, для которых оптическая разность хода кратна нечетному числу половины длины волны (условие минимума):
= (2m +1) λ , |
m = 0, 1, 2... |
2 |
|
Оптическая разность хода в отраженном свете равна:
= 2d
n2 − sin2 i + λ , 2
где i - угол падения луча. Так как по условию свет падает нормально, то i = 0 и sini = 0. Произвольной полосе с номером m соответствует толщина dm , а
(m+1) полосе соответствует толщина клина dm +1 . Запишем условие минимума для двух соседних темных полос:
2d m n + λ = (2m +1) λ |
и |
2d m+1n + λ = [2(m +1) +1]λ . |
|||||||
2 |
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|||
Отсюда: dm = |
mλ |
|
|
и |
dm +1 |
= |
(m +1)λ |
. |
|
2n |
|
|
|||||||
|
λ |
|
|
|
2n |
|
|||
Тогда: dm +1 − dm = |
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|