UMK11

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ)

Кафедра математики

УЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

дисциплины «Математика»

________________________________________________________________________________

РАЗДЕЛ 11 «ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ»

Теоретические основы Методические указания для студентов Материалы для самостоятельной работы студентов

Уфа 2010

3.1. Контрольные вопросы 3.2. Задачи и упражнения для самостоятельной работы 3.3. Расчетные задания

ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

1.1. Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение 1.2. Простейшие свойства и теоремы об изображениях.

Иллюстративные примеры 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ

2.1. Примеры нахождения изображения по оригиналу

2.2. Примеры нахождения оригинала по изображению 2.3. Операторный метод интегрирования линейных

дифференциальных уравнений (ЛДУ) с постоянными коэффициентами

3. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ

3.1. Контрольные вопросы 3.2. Задачи и упражнения для самостоятельной работы 3.3. Расчетные задания

Список литературы

АВТОРЫ:

Бахтизин Р.Н., Степанова М.Ф., Яфаров Ш.А., Шамшович В.Ф., АкмадиеваТ.Р., Аносова Е.П., Байрамгулова Р.С., Галиуллин М.М., Галиева Л.М., Галиакбарова Э.В., Гимаев Р.Г., Гудкова Е.В., Егорова Р.А., Жданова Т.Г., Зарипов Э.М., Зарипов Р.М., Исламгулова Г.Ф., Ковалева Э.А., Майский Р.А., Мухаметзянов И.З., Нагаева З.М., Савлучинская Н.М.,

Чернятьева М.Р., Юлдыбаев Л.Х., Якубова Д.Ф., Якупов В.М., Янчушка А.П. 8 – (347)2428715

E-mail: kafedra-matematiki@rambler.ru

РЕЦЕНЗЕНТЫ:

Кафедра программирования и вычислительной математики Башкирского государственного педагогического университета.

Заведующий кафедрой д. ф.-м. наук, профессор Р.М. Асадуллин.

Кафедра вычислительной математики Башкирского государственного университета.

Заведующий кафедрой д. ф.-м. наук, профессор Н.Д. Морозкин.

АННОТАЦИЯ

Учебно-методический комплекс дисциплины «Математика». Раздел 11 «Теория функций комплексного переменного. Элементы операционного исчисления». Теоретические основы. Методические указания для студентов. Материалы для самостоятельной работы студентов.

В разделе «Теоретические основы» и «Методические указания для студентов» содержатся необходимые для изучения дисциплины «Математика», в объеме, предусмотренном ГОС для технических вузов, теоретический материал, способы и методы решения практических задач.

Раздел «Материалы для самостоятельной работы студентов» включает в себя: контрольные вопросы, задачи и упражнения для самостоятельной работы, расчетные задания, лабораторные работы, литературу.

Представлен перечень контрольных вопросов для контроля знаний, полученных студентами при изучении теоретических и методических основ дисциплины. Задачи и упражнения для самостоятельной работы студентов позволяют учащимся индивидуально во внеурочное время контролировать уровень усвоения материала по данной дисциплине.

Расчетные задания содержат задания для студентов, позволяющих отработать навыки решения задач практического содержания.

В разделе «Лабораторная работа» представлен теоретический материал, последовательность проведения лабораторной работы и данные для проведения лабораторной работы по вариантам.

При изучении дисциплины обеспечивается фундаментальная подготовка студента в области применения математики, происходит знакомство со стержневыми проблемами прикладной математики, базовыми приложениями, навыками и понятиями, обязательными для прочного усвоения последующих дисциплин и практического использования полученных знаний в решении конкретных задач, которые ставятся перед инженером.

Учебно-методический комплекс разработан для студентов, обучающихся по всем формам обучения по направлениям подготовки и специальностям, реализуемым в ГОУ ВПО УГНТУ.

© Уфимский государственный нефтяной технический университет, 2010

УЧЕБНО - МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

РАЗДЕЛ 11 «ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ»

1. Теоретические основы

1.1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Комплексным числом (КЧ) называется упорядоченная пара вещественных (действительных) чисел. Множество КЧ обозначается через С:

В этом множестве сразу же определим равенство КЧ, а именно:

плоскостью.

Обратим внимание на то, что это есть обычная плоскость с введенной на ней прямоугольной декартовой системой координат. Термин «комплексная» возникает из-за того, что на ней изображаются комплексные числа.

На множестве С введем две (алгебраические) операции: сумма и произведение.

Сумма определяется так: С× С → С, то есть каждой упорядоченной паре (x1 , y1 ) и (x 2 , y2 ) элементов из C поставим в соответствие новый элемент из C по правилу:

то есть имеет место покоординатное суммирование. Например, (1,0) + (0,1) = = (1,1); (3,7) − (7,4) = (− 4,3). КЧ (x, y) обозначим через z , полагая

при этом первая составляющая x называется вещественной частью КЧ z и

Сразу обратим внимание читателя на то, что Re z и Jm z есть вещественные (действительные) числа.

И через z же будем обозначать изображение КЧ z , чтобы не вводить новых букв и не загромождать текст (см. рис. 1.1).

Непосредственно проверяется, что операция «+» обладает свойствами: 1.10. Коммутативность (переместительность). z1 , z 2 C

z1 + z 2 = z 2 + z1 .

1.20. Ассоциативность. z1 , z 2 , z3 C z1 + (z 2 + z3 )= (z 2 + z1 )+ z3 .

Легко проверяется, что пара (0,0) играет роль нуля.

Вторая из операций – умножение КЧ: C ×C = C2 → C . Предметно это

Если наряду с суммой на некотором множестве M определяется операция умножения: M × M → M ( упорядоченной паре элементов из M ставится в соответствие вполне определенный элемент из M ), то говорят, что имеет место алгебра. (На M введена алгебраическая структура.) Если операция умножения обладает еще распределительными свойствами, то говорят, что имеет место линейная алгебра.

Примером линейной алгебраической структуры (антикоммутативная линейная алгебра) является трехмерное векторное пространство, где операция умножения есть векторное произведение двух векторов. Обратим внимание читателя на то, что об алгебраической структуре на M можно говорить тогда и только тогда, когда на M введена операция суммы.

Убедимся, что в нашем случае алгебра КЧ коммутативна, то есть

Всамом деле, z 2 z1 = (x 2 , y2 )(x1 , y1 )= (x 2 x1 − y2 y1 ; x 2 y1 + x1 y2 )=

=(x1x 2 − y1 y2 ; x1 y2 + x 2 y1 )= z1z 2 согласно (1.5). Аналогично проверяется,

что произведение КЧ удовлетворяет еще следующим условиям.

(z1z 2 )z3 = z1 (z 2 z3 )− ассоциативное свойство умножения.

1.50. (z1 + z 2 )z3 = z1z3 + z 2 z3 − распределительное свойство относи-

тельно первого множителя.

(z 2 + z3 )z1 = z1z 2 + z1z3 − распределительное свойство относительно второго множителя.

1.60. Роль единицы выполняет упорядоченная пара (1,0), так как для

z C

z (1,0)= (1, 0)z = (1,0)(x, y)= (x, y).

Таким образом, операция умножения КЧ приводит к линейной алгебре.

1.2. МОДУЛЬ И АРГУМЕНТ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА.

z = 0 Û z = (0,0), аргумент последнего не определяется. Вместо требования j Î (- p; p] можно взять j Î[- p; p) либо j Î (0, 2p] в зависимости от класса

если под Arg z понимать произвольный фиксированный элемент из совокуп-

ности (1.8).

Представление КЧ в виде (1.9) принято называть тригонометрической формой комплексного числа.

Алгебраическая форма КЧ

Множество {(x,0) x Î R} отождествим с множеством действительных

чисел R , полагая

x = (x, 0).

Последнее с геометрической точки зрения вполне объяснимо, так как (x, 0)изображаются точками координатной оси 0x . Но существенным здесь является то, что операция умножения (как и операция суммы) не выводит числа из этого множества. Действительно,

(x1 ,0)× (x 2 ,0) = (x1x 2 - 0 × 0, x1 0 + x 2 0) = (x1x 2 , 0) = x1x 2 ,

тогда как множество {(0, y) y Î R} не отождествляется с R , так как операция

множеству. Полагая i = (0,1), полученный результат можно записать так:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. КЧ i = (0,1) (i 2 = −1) принято называть мнимой

единицей.

Замечание. В этом определении мнимого ничего нет, а речь идет об упорядоченной паре (0,1), для которой выполняется равенство (1.10).

Согласно (1.3) и (1.4)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.4. Если КЧ представлено в виде (1.11), то говорят,

что это есть алгебраическая форма КЧ z .

Еще раз обратим внимание читателя на то, что x = Re z, y = Jm z − вещественные числа, а Jm z − коэффициент при мнимой единице.

Замечание. (1.10) и (1.11) позволяют легко перемножать комплексные числа по правилу: умножаем двучлен на двучлен с использованием (1.4) и при-

водим подобные по i . Действительно, z1z 2 = (x1 + i y1 )(x 2 + i y2 ) = x1x 2 +

+ i y1x 2 + i x1 y2 + i 2 y1 y2 = x1x 2 − y1 y2 + i (x1 y2 + x 2 y1 ). Теперь остается сравнить с результатом (1.5) и убедиться в справедливости упомянутого правила.

Перейдем к иллюстративным примерам

ПРИМЕР 1.1. Найти z1z 2 , Re z1z 2 , Jm z1z 2 , если z1 = 1 − 3i , z 2 = −2 + 4 i .

Решение. Согласно только что сформулированному правилу имеем (ум-