UMK11

(-1)

= e

Ln (-1) = e

(2k +1)pi , k Î Z .

2

2

2

Ответ: e-(2k +1)p , k Z; e

(2k +1)pi , k Î Z.

2

ПРИМЕР 1.11. Решить уравнения ln (z - i) = 0; ei x = cos px,

x Î R .

Решение. ln (z - i) = ln

z - i

+ i × arg (z - i) = 0, что дает

ln

z - i

= 0

Û

z - i

= 1

z - i - действительное число и больше 0.

arg (z - i) = 0

С учетом этого получим

z - i

= z - i = 1, z = 1 + i .

ei x = cos x + i sin x = cos px Û cos x = cos px, Û

px = ±x + 2p p,

sin x = 0

x = n p

n p2 = ±n p + 2pp, np = ±n + 2p, n (p ±1) = 2p Û

Û p = 0,

Û x = 0.

n = 0

Ответ: 1 + i; 0.

Замечание.

Более простой способ решения уравнения ln (z − i) = 0 сле-

дующий: согласно (1.46) z - i = 1, z = 1 + i .

ПРИМЕР 1.12. Решить уравнение sh i z = -1.

Решение. Согласно (1.52) i z = Ar sh (-1) = Ln (-1 ±

).

2

Ln (

-1) = ln (

-1)+ 2 kpi, z = 2 kp - i × ln (

-1);

2

2

2

Ln (-1 -

) = ln (

+1)+ i (2k +1)p, k Î Z

2

2

z = (2k +1)p - i × ln (

+1), k Î Z.

2

Ответ: 2 kp - i × ln (

-1), k Î Z; (2k +1)p - i × ln (

+1),

k Î Z .

2

2

e−z - ez

ez - e−z

sin iz =

= i

= i × sh z ,

(1.55)

2i

2

cos iz =

ez + e−z

= ch z .

(1.56)

2

Последнее тождество –

следствие первых двух. Если в (1.55) и (1.56)

взять z = x, x R , то sin ix = i × sh x,

cos ix = ch x . Отсюда следует, что по

модулю эти величины могут быть

сколь угодно большими.

Например,

ство точек, для которых

z

> R, R > 0.

(1.57)

Если рассмотреть преобразование комплексной плоскости

h =

1

,

z =

1

,

(1.58)

z

h

то согласно (1.57) R − окрестность ∞ точки преобразуется в

1

− окрестность

начала координат 0 + i 0, так как

R

h

<

1

,

(1.59)

R

что позволяет считать образом z = 0 бесконечно удаленную точку (∞).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.10. z = x + i y

называется конечной точкой ком-

костью. Сразу отметим, что символ ∞ , по-другому –

бесконечно удаленная

точка, не имеет аргумента и модуля.

Другой подход введения ∞ удаленной точки связан с именем Римана.

1

1

Рассмотрим сферу ω радиуса

и с центром в т. L 0,0,

(рис. 1.6). Точка

2

2

сферы N(0,0,1) называется

северным полюсом,

диаметральная точка

S(0,0,0) − южным полюсом, которая совпадает с началом координат. Отобра-

жение

π :z → M, M = (N z)I ω ,

(1.60)

где (Nz) −

прямая,

проходящая

через

т. N и т. z , биективно (взаимно-

z∙

однозначно). Если z → ∞ , то ее образ

N

M стремится занять на сфере положе-

∙

ние северного полюса N .

Таким обра-

L ∙

M

зом, сфера с проколотой т. N - геометри-

ческая

иллюстрация

конечной

ком-

∙

∙

y

плексной плоскости. Если же мысленно

(аксиоматически) дополнить конечную

0

комплексную плоскость еще одной точ-

x

∙

z

кой,

считая

N ее образом и сохраняя

при

этом

биективность

отображения

Рис. 1.6

(1.60), то такая плоскость и есть расши-

ренная комплексная плоскость, прообраз

N есть ∞ удаленная точка, а сфера ω − геометрическая иллюстрация расши-

ренной комплексной плоскости.

Сфера ω , которая является геометрической интерпретацией расширен-

ной комплексной плоскости, называется сферой Римана.

менной.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.12. Если x = Re z и

y = Jm z - упорядоченные пе-

ременные величины, то

z = x + i y называется упорядоченной переменной ве-

личиной.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.13. Будем говорить, что z → z0 = x 0 + i y0

lim z = z 0 ,

(1.61)

если для δ > 0

значение z* = x* + i y*

такое, что все последующие

значения комплексной переменной z удовлетворяют условию (рис.1.6).

z − z 0

< δ ,

(1.62)

то есть все значения z после z* попадают в открытый

круг радиуса δ с центром в точке z0 (см. рис. 1.7). Кратко

определение 1.13 означает, что

z

=

• •

z − z0

(x − x 0 )2 + (y − y0 )2

− есть бесконечно ма-

z0

лая действительная величина.

Теорема 1.3.

z = x + i y

→ z0 = x 0 + i y0 ,

Рис. 1.7

когда

x → x0 ,

(1.63)

y → y 0

,

что равносильно

lim z = lim (x + i y )= lim x + i lim y = x0 + i y 0 .

(1.64)

Доказательство. Необходимость. Так как

x − x 0

,

y − y0

≤

z − z0

=

(x − x 0 )2 + (y − y0 )2

,

то

согласно

условию

(1.62)

x − x 0

< δ,

y − y0

< δ, что приводит к (1.63). Необходимость доказа-

на.

δ > 0

Достаточность.

Условие

(1.63) означает

следующее:

x* = x* (δ), y* = y* (δ),

2

что все последующие значения

x и y удовлетво-

ряют

требованиям

δ

δ

x − x 0

<

,

y − y0

<

. Отсюда для таких

y

D

2

2

x и y имеем

z − z0

=

x + i y − (x 0 + i y0 )

=

x

0

=

< δ2

+ δ2

v

(x − x 0 )2 + (y − y0 )2

= δ

0′

T

2

2

•

Этим теорема доказана полностью.

u

Из теоремы 1 (см. (1.64)) следует, что все

теоремы о пределах переменной вещественной

Рис. 1.8

величины имеют место и для переменной ком-

плексной величины.

(образ), то говорят, что задана однозначная (многозначная) функция

комплекс-

ного переменного, и это записывают так:

ω =f (z),

(1.65)

при этом D называется областью определения функции f (z), а

T − обла-

ω = u + i v = f (x + i y )= u (x, y)+ i v (x, y ),

(1.66)

где

u = u (x, y )= Re f (z), v = v (x, y )= Jm f (z).

(1.67)

ных на D .

Предел. Непрерывность ФКП

A = A1 + i A 2 называется

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.15. Комплексное число

пределом

функции

f (z) при

z → z0 и

это записывается

так:

lim f (z)= A

f (z)→ A

при

z → z0 ,

если

для

z→z0

ε > 0

δ = δ(ε)> 0 , что как только

0 <

z − z 0

< δ ,

(1.68)

то для таких z имеет место

f (z)− A

< ε .

(1.69)

Геометрическая

иллюстрация

lim f (z)

заключается в следующем:

z→z0

какой бы открытый круг радиуса ε > 0 с центром в т. A ни взять, найдется от-

Теорема 1.4.

lim f (z)= A = A1 + i A 2

(1.70)

z→z0

lim u(x, y ) ≡ lim Re f (z) = A

1

= Re A,

x→x

x→x

y→y00

y→y00

(1.71)

lim v(x, y ) ≡ lim Jm f (z) = A 2

= Jm A.

x→x0

x→x0

y→y0

y→y0

lim f (z) = lim [u (x, y)+ i v (x, y )] =

z→z0

x→x0

y→y0

(1.72)

= lim u(x, y )+ i lim v(x, y ),

x→x0

x→x0

y→y0

y→y0

то

есть

квадратные скобки можно раскрывать,

если

пределы от

Re f (z), Jm f (z) и конечны (числа).

Непрерывность ФКП

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.16. Функция ω = f (z)

непрерывна в т. z0 , если в

этой точке функция определена и ее предел при z → z0

равен значению функ-

ции в этой точке, то есть

lim f (z) = f (z 0 ).

(1.73)

z→z0

Согласно теореме 1.4 (1.73) означает следующее: ω = f (z) непрерывна в

т. z0

= x + i y

,

когда ее вещественная и мнимая

части –

непрерывные

функции в точке (x 0 , y0 ), то есть

lim u(x, y ) ≡ lim Re f (z) = u (x0 , y

0 ),

x→x

x→x

y→y00

y→y00

(1.74)

lim v(x, y ) ≡ lim Jm f (z) = v (x0 , y 0 ).

x→x0

x→x0

y→y0

y→y0

(1.73)

lim f (z) = lim [u (x, y)+ i v (x, y )] =

z→z0

x→x0

y→y0

= lim u(x, y)+ i lim v(x, y ) = u(x0 , y 0 )+ i v(x0 , y 0 ). (1.75)

x→x0

x→x0

y→y0

y→y0

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.17. Если lim

f (z)

, то он называется производ-

z→0

z

ной ФКП ω = f (z) = u(x, y) + i(x, y) в т. z и обозначается f ′(z).

Таким образом, по определению производная

f ′(′z) =

lim

f (z),

(1.76)

z→0

z

(

z

>0)

где z = x + i y, z*

= x* + i y* , z = z* − z = (x* − x)+ i (y* − y)=

= x + i y, x = x* − x, y = y* − y,

z → 0 = 0 + i 0

x → 0,

y → 0,

но x 2 + y2 ≠ 0; f (z) = f (z* )− f (z) = f (z + z) − f (z) =

= u (x* = x + x, y* = y + y)+ i v (x* , y* )− u (x, y) − i v (x, y) =

= u (x, y) + i v (x, y). Как всегда, предполагается, что предел (1.76) не за-

висит от способа стремления z → 0 при условии

z

> 0 .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.18. ФПК ω = f (z) называется дифференцируемой в

т. z , если ее приращение в этой точке представимо в виде

f (z) = A (z)

z + ω(z, z),

(1.77)

где первое слагаемое –

главная часть приращения функции при A(z) ≠ 0 − ли-

нейно относительно приращения

z , а второе слагаемое есть бесконечно ма-

лая величина, более высокого порядка малости, чем

z , то есть

lim ω(z,

z) = 0 .

(1.78)

z→0

z

При условии дифференцируемости f (z) в т. z и A (z) ≠ 0 главная часть

приращения функции,

линейная относительно z ,

называется ее дифферен-

циалом в т. z и обозначается df (z). Таким образом,

df (z) = A (z)

z .

Убедимся,

что нелинейную часть ω приращения функции можно пред-

ставить в виде

z) = p (z,

ω(z,

z)

z ,

(1.79)

где

z) = 0.

lim p (z,

(1.80)

z→0

Действительно, полагая

ω(z,

z) = p (z,

z),

ω(z, z) = p (z,

z) z

(1.81)

z

lim p(z, z)= lim q (z, z)= 0.

(1.82)

z→0

z→0

Теорема 1.5. ФКП допускает производную в точке z

, когда она диф-

ференцируема в этой точке.

Доказательство. Необходимость. (1.76)

p (z, z)+ f ′(z)=

f (z),

lim p(z, z)= 0,

f (z)= f ′(z) z + p (z, z)

z . Теперь

z

остается

сравнить

z→0

сти.

Достаточность. Из (1.77), (1.78) следует

lim

f (z) = lim A (z)+ ω(z,

z)

= A (z)+ lim ω(z, z) = A (z), то

z→0

z

z

z→0

z

z→0

есть f ′(z)= A(z). Теорема доказана полностью.

Таким образом, при условии дифференцируемости, формулу (1.77) мож-

но написать так:

f (z)= f ′(z) z + p (z,

z)

z .

(1.83)

u′ (x, y)= v′

(x, y),

x

y

(1.84)

v′′(x, y )= −u′′(x, y).

x

y

Условия (1.84) называются условиями Коши-Римана (К-Р) либо Далам-

бера-Эйлера (Д-Э).

Доказательство. Предположим, что производная f ′(z) . Тогда согласно

(1.72) имеем

f ′(z)=

u (x, y)+ i

v (x, y) =

y = 0

lim

x → 0

=

z→0

x + i

y

x ≠ 0

{ x→0

y→0

= lim

u (x, y)+ i lim

v (x, y) = u′ (x, y)+ i v′ (x, y),

x→0

x

x→0

x

x

x

f ′(z) = u′x (x, y)+ i v′x (x, y),

(1.85)

так как предел не должен зависеть от способа

y

стремления z* → z (z* ≠ z). Здесь z* → z по

• z*

прямой

x = const (рис. 1.9). Аналогично, уст-

y•

z •

ремляя

z* → z по

прямой

y = const (рис.

1.9), имеем

u (x, y) + i v (x, y) =

f ′(z) =

lim

0

x

x

y→0

{ x=0

i

y

y≠0

Рис. 1.9

1

[u′′ (x, y )+ i v′′ (x, y)]=

1

i

=

=

= −i

= v′′ (x, y )− i u′′

(x, y ).

i

y

y

i

i 2

y

y

f ′(z) = v′y (x, y)− i u′y (x, y ).

(1.86)

Сравнение (1.85) и (1.86) дает (1.84). Что и требовалось доказать.

Таким образом,

f ′(z) = u′x (x, y) + i v′x (x, y) = v′y (x, y) − i u′y (x, y).

(1.87)

Доказательство. Необходимость. Согласно (1.83) и (1.80)

f (z) = u(x, y) + i

v (x, y) =

= [u′x (x, y) + i v′x (x, y)] ( x + i

y) +

+ [α (x, y, x, y) + i β(x, y, x, y)] ( x + i y) =

α = α (x, y, x, y) = Re p (z, z) → 0

β = β (x, y, x, y) = Jm p (z, z) → 0

=

при

z → 0

= [u′x

x + u′y y]+ i [u′x

y + u′x

x]+

α x − β y + i (α y + β x)

u (x, y ) = d u (x, y )+ α

x − β

y,

(1.88)

v (x, y ) = d v (x, y )+ α

y + β

x,

(1.89)

последнее означает дифференцируемость u (x, y) = Re f (z),

v (x, y) = Jm f (z) в рассматриваемой точке (x, y), если учесть, что

lim α

x − β

y = 0,

lim α

y + β x = 0 .

(1.90)

x→0

z

x→0

z

y→0

y→0