UMK11
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3) Re s [X(p3 )ep3t ]= lim |
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′ = lim |
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′ = |
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(p |
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+1)(p |
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−1) |
(p |
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+1)(p |
+1) |
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p |
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p→1 |
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p→1 |
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{(t ep t p2 + 2 p ep t )(p2 +1)(p +1)2 − p2 ept [2p(p +1)2 + 2(p |
2 +1)(p +1)]} |
= |
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= lim |
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+1) |
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(p +1) |
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p→1 |
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= |
8 e t (t + 2) −16 e t |
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= |
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e t (t + 2 − 2) |
= |
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t et |
. |
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′ |
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(p +1) |
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pt |
p |
2 |
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4) Re s [X(p4 )ep4t ]= lim |
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= |
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p→−1 (p2 +1)(p −1)2 (p +1)2 p |
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= lim |
(ept tp 2 |
+ 2p ept )(p2 +1)(p −1)2 − p2 ept [2p(p −1)2 + 2(p2 +1)(p −1)] |
= |
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(p |
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+1) |
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(p −1) |
4 |
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p→−1 |
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− 8 e−t (2 − t) +16e−t |
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e−t |
(2 − 2 + t) |
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t e−t |
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′ |
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p2 ep t |
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5) Re s [x (p4 )ep4t ]= lim |
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+1)(p −1)2 |
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p→−1 (p |
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(t ep t + 2p e p t )(p2 −1)2 − [2p(p −1)2 + 2(p −1)(p2 +1)]ept p2 |
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= lim |
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(p |
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+1) |
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(p −1) |
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p→−1 |
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e−t (t − 2) 8 − e−t [− 8 − 4 2] |
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t e−t |
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Окончательно получаем, что искомое решение имеет вид |
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x(t) = − |
1 |
sin t + |
t |
ch t = |
1 |
(t ch t − sin t). |
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Ответ: x(t) = |
(t ch t − sin t). |
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Проверка. |
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x′(t) = |
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(ch t + t sh t − cos t); |
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x ′′(t) = |
1 |
(2 sh t + t ch t + sin t); |
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x ′′′(t) = |
1 |
(3ch t + t sh t + cos t); |
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x iv (t) = |
1 |
(4 sh t + t ch t − sin t); |
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x iv (t) − x(t) = 1 (4 sh t + t ch t − sin t − t ch t + sin t) = sh t; 4
x(0) = 0, x′(0) = 0, x′′(0) = 1.
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y(t)← Y(p); y′(t)←p Y(p) − 2; y |
′′(t)← p[pY(p) − 2] = p2 Y(p) − 2p. |
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Применяя почленно преобразование Лапласа к каждому уравнению |
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системы, получим систему операторных уравнений |
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p2 |
X(p) − 2 − p Y(p) + 2 = 0 |
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p |
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p X(p) − p2 Y(p) + 2p = 2 |
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p |
2 |
+1 |
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2 |
X(p) − p Y(p) = 0 |
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p |
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2 |
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||||||||||||||||||
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2 |
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|
1 |
|
|
|
|
2 p |
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||||||||||
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||||||||
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|
X(p) − p Y(p) = −2 + |
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2 |
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|
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|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
. |
||||||||||||||||||||||||
|
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|
p |
+1 |
= 2 |
+ |
|
−1 = − |
p |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
p |
|
1 |
|
|
|
+ |
1 |
|||||||||||||||
Относительно неизвестных X(p) и Y(p) имеем систему 2-х линейных |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
неоднородных уравнений с двумя неизвестными. Отсюда получаем |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
X(p) = |
|
|
2 p |
2 |
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1 |
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|
1 |
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||||
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= |
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|
+ |
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|
→sh t + sin t; |
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||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||
(p2 |
−1)(p2 +1) |
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|
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|
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||||||||||||||||||||||||||
|
|
p2 −1 p2 + |
1 |
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||
Y(p) = |
|
|
2 p |
3 |
|
|
|
|
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|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||
|
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|
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||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= p |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
→ch t + cos t . |
|
|
|||||||||||||||||||
(p |
2 |
+1)(p |
2 |
−1) |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
−1 p |
|
|
|
|
|
|
|
p |
−1 p |
+1 |
|
|
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|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: x(t) = sh t + sin t; |
|
y(t) = ch t + cos t. |
|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Проверка. x′(t) = ch t + cos t, |
|
x′′(t) = sh t − sin t; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y′(t) = sh t − sin t, |
y′′(t) = ch t − cos t; |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x′′ − y′(t) = sh t − sin t − sh t + sin t = 0; |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x′ − y′′ = ch t + cos t − ch t + cos t = 2 cos t; |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x(0) = sh 0 + sin 0 = 0; |
|
y′(0) = sh 0 − sin 0 = 0; |
x′(0) = ch 0 + cos 0 = 2; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y(0) = 2. В чем и следовало убедиться. |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Теорема 2.1. Если x1 (t) − решение дифференциального уравнения |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
x(n ) + a1 x(n−1) |
+ K + an x = 1 |
|
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(2.9) |
||||||||||||||||||||||||||||
с постоянными |
коэффициентами |
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при |
|
нулевых |
начальных |
|
|
условиях: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x(0) = x′(0) = K = x (n−1) (0) = 0, то решением уравнения |
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x(n ) + a1 x(n−1) |
+ K + an x = f (t) |
|
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|
(2.10) |
||||||||||||||||||||||||||||||
при тех же начальных условиях является функция |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
t |
|
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|
(t − τ)dτ = x1 (t)f (0)+ |
t |
|
′(′τ)x1 (t − τ)dτ . |
|
|
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|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||
x(t) = ∫ x′1′(τ)f |
∫ f |
|
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(2.11) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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0 |
|
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0 |
|
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|
Доказательство. Операторное уравнение, соответствующее (2.9), имеет
вид
X |
|
(p) P (p) = |
1 |
, |
|
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||
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
n |
|
p |
|
|
|
|
|
||
где P (p) = p n + a |
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
p n −1 + K + a |
n |
есть так называемый характеристический |
||||||||
n |
|
|
n −ой |
|
|
|
|
|
|
||
многочлен |
|
степени |
соответствующего однородного |
уравнения. |
|||||||
Аналогично, из (2.10) получаем |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t). |
|
|
X (p) Pn (p) = F (p), F (p)→f |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Почленное деление полученных равенств дает |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
t |
(t − τ)dτ, |
X (p) = p F (p)X1 (p)→ ∫ x |
1′ (τ)f (t − τ)dτ = x1 (t )f (0) + ∫ f ′(τ)x1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если использовать интеграл Дюамеля. Что и требовалось доказать.
|
ПРИМЕР 2.15. Найти решение уравнения x ′′ |
− x′ = |
|
|
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|
|
1 |
|
|
|
|
|
при нулевых |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 + e t |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
начальных условиях. |
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||||||||||||||||||
|
Решение. |
|
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|
Согласно |
сформулированной |
|
теореме |
|
|
рассматриваем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вспомогательное уравнение |
|
|
x′′ − x′ = 1. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Операторное уравнение последнего уравнения имеет вид |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
p2 X(p) − p X(p) = |
1 |
; X(p) − (p2 − p)= |
1 |
, X(p) = |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
. Но |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
p |
p |
p2 (p −1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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||
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|
|
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|
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||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
→ |
см. (ТИ) |
|
→ e t −1. |
|
Согласно |
теореме Бореля |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
p(p −1) |
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
p −1 p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫t (e |
τ −1)dτ = e |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
(см. |
(1.17)) |
|
|
|
|
|
|
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|
1 |
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
→ |
|
τ |
|
|
0t − τ |
|
t |
|
= e t − t −1. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
p2 (p −1) |
|
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|
p p(p − |
1) |
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|
0 |
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
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|
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|
|
0 |
|
|
||||||||||||||||||||||
Следовательно, |
x |
1 |
(t) = e t |
|
|
− t −1, |
x′ (t) = e t |
−1, |
x′′(t) = e t . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
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|
Замечание. Последнее получается более просто, если учесть |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
1 |
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|
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|
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|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
= |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
→e t |
− t −1. |
|||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
2 |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
p |
(p |
−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p(p −1) |
|
|
|
p |
|
|
|
|
p −1 p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
p p −1 |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Далее согласно (2.11) |
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u(τ) = eτ |
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|||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
(eτ −1)eτ dτ |
|
|
|
|
|
|
+ e t |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||
|
|
x(t) = ∫t (eτ −1) |
|
|
dτ |
|
|
= |
|
∫t |
|
= |
u(0) = e t +1 |
|
|
= |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
+ e t −τ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
eτ + e t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(t) = 2 et |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
= 2e∫t (u − e t −1)du = u |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
du = eτ dτ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
2et |
t |
− (e +1)ln |
2 et |
|
|
= e t −1 − (et +1)× |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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et +1 |
|
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u |
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|
|
|
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e + |
|
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et + |
1 |
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× (ln 2 + t − ln(e t +1)).
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1 |
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− π p |
|
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|
1 |
|
|
|
e |
−π p |
|
1 |
|
|
|||
+ |
|
1 |
− 2 e |
2 |
|
+ e |
−π p |
= |
|
|
|
− |
|
|
|
+ |
|
|
− |
|
p2 |
p(p2 + |
1) |
p(p2 +1) |
p2 (p2 +1) |
||||||||||||||||
|
|
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||||||||||
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− π p |
|
|
e−π p |
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|||
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2 e |
2 |
|
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||||
− |
p2 |
(p2 +1) |
+ |
p2 (p2 +1). |
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||||
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f1 (t) |
|
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|
f 2 (t) |
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|||||
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|
|
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1 |
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|
|
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|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
||
|
|
|
|
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|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
π π |
|
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||||||||||||
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||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||
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|
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|
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|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
||||||
|
Так как |
|
|
|
|
→sin t, то согласно теореме Бореля имеем |
|
|
→ |
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|
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|
p2 +1 |
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|
|
p p2 +1 |
|||||||||||||||
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0t = 1 − cos t. |
|
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|
|
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|
|
||||||||||
→ ∫ sin τdτ = − cos τ |
|
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|||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
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|
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|
1 |
|
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|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Аналогично, |
|
p2 (p2 +1)→ 0∫ (1 − cos τ)dτ = (τ − sin τ) |
|
0 = t − sin t . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||
|
Окончательно получаем |
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|
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|
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|
|||||||||||||||
|
x(t) = (1 − cos t) − η(t − π)[η(t − π) − cos(t − π)]+ (t − sin t) − |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
π |
|
|
π |
|
|
π |
|
+ η(t − π)[(t − π) − sin(t − π)]; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
− 2η t − |
2 |
|
t − |
2 |
− sin |
t − |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
||||||||||||
|
|
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|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Y(p) = p X(p) − |
F (p) |
→ x′(t) − η(t)t + η(t − η)(t − π) = y(t); |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
p 1 |
|
|
|
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|
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||
|
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|
|
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|
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|
|
p X(p)→ x′(t) = sin t − η(t − π)sin(t − π) +1 − cos t + |
|
|
|
|
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|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
− |
|
|
|
|
− η(t − π)cos(t − π); |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
+ 2η t |
2 |
cos t − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
[η(τ) − η(τ − π)]dτ= η(τ) τ t − η(τ − π)(τ − π) t = |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1 F (p)→ |
∫ |
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||
p |
1 |
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= η(t)t − η(t − π)(t − π). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||
Ответ: x(t) = (1 − cos t) − η(t − π)[η(t − π) − cos(t − π)]+ (t − sin t) − |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
− |
|
|
η |
|
|
π |
|
− |
π |
|
− |
π |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
− |
π |
; |
|||||||
2η t − |
|
|
t − |
|
− sin t |
|
|
+ η t |
|
|
t − |
|
|
− sin t |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
π |
|
|
π |
− |
|
|
|||||
y(t) = sin t − η(t − π)sin(t − π) +1 − cos t + 2η t |
2 |
cos t − |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
− η(t − π)cos(t − π) − η(t )t + η(t − π)(t − π). |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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||||||||||||||||||
Проверка. |
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|||
x ′′(t) = cos t − η(t − π)cos(t − η) + sin t − |
|
|
|
π |
|
|
|
− |
π |
+ |
|
|
|
||||||||||||||||||
2η t − |
|
sin t |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
+ η(t − π)sin(t − π); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
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|
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|||||||||
|
|
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|
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|
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|||||||
y′(t) = cos t − η(t − π)cos(t − η) + sin t − |
|
|
|
− |
π |
|
|
|
− |
π |
+ |
|
|
|
|||||||||||||||||
2η t |
|
sin t |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
+ η(t − η)sin(t − π) − η(t) + η(t − π); |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
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||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
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|||||||||||||
x′′(t) = −y′(t) = η(t) − η(t − π); |
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
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|||||||||||||
y′ + x = 1 − η |
2 |
(t |
− π)+ t |
|
|
|
π |
π |
+ η(t − π)(t − π) − |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
− 2η t − |
2 |
t − |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
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|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||
− η(t) + η(t − π) = t η(t) |
|
|
π |
− |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
− 2 η t − |
t |
+ η(t − π)(t − π). |
|
|
Получили |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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|
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|
2 |
|
2 |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
верное равенство, указывающее на верность найденного решения. |
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|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
ПРИМЕР 2.18. Проинтегрировать ЛДУ при нулевых начальных условиях: |
|||||||||||||||||||||||||||||||
x′′(t) − x′(t) = f (x), |
|
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||||||
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|
−t |
|
при 0 ≤ t < 1. |
|
f (t) |
|
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|
|
|
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|
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|
||||||||
где f (x) = e |
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|
|
|
|
|
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|
|
|||||||||||||
|
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|
0 |
|
|
при |
t ≥ 1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||
Решение. |
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|
|
|
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|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(t)← X(p), x′(t)←p X(p), x ′′(t)←p2 X(p), |
|
|
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|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
||
(p2 − p)X(p) = F(p), X(p) = F(p) , |
|
|
|
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|
Рис. 2.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 − p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
f (t) = [η(t) − η(t −1)]e−t = η(t)e− t − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− η(t −1)e−(t −1) e−1 =
= η(t)e−t − η(t −1) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
e |
−p |
||||||||||||||||||
|
e−(t −1) ← |
|
− |
|
|
= |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
p +1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
e−p |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e p +1 |
||||||||||||||||||
= |
1 |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
p +1 |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
e−p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
X(p) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= |
p(p2 −1) − |
e p(p2 −1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Но |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
→ch t −1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
p(p2 −1) |
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p2 −1 p |
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= ch t − η(t). Вследствие этого и согласно теореме запаздывания |
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e−p |
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→η[ch |
(t −1) − η(t −1)]. Следовательно, |
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p(p2 − |
1) |
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x(t) = ch t −1 − |
1 |
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η(t −1)[ch (t −1) − η(t −1)]. |
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e |
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1 |
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η(t −1)[ch (t −1) − η(t −1)]. |
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Ответ: ch t −1 − |
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e |
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Проверка. |
x′(t) = sh t − |
1 |
η(t −1)sh(t −1), |
x ′′(t) = ch t − |
1 |
η(t −1)ch(t −1), |
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e |
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e |
x ′′(t) − x′(t) = ch t − sh t − 1 η(t −1)[ch(t −1) − sh(t −1)] = η(t)e−t − e
−1 η(t −1)e−(t −1) = [η(t) − η(t −1)]e−t . Что и надо. e
Ив заключение рассмотрим (на конкретных примерах) приложение операционного исчисления к решению интегральных уравнений Вальтерра 1-го
и2-го рода.
Если уравнение содержит неизвестную функцию под знаком интеграла,
то оно называется интегральным уравнением.
Уравнения
t |
t |
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∫ |
k (t − τ)x (τ)dτ = f (t); x (t) = f (t) + ∫ k (t − τ)x (τ)dτ |
(2.12) |
0 |
0 |
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называется соответственно интегральными уравнениями Вольтерра 1-го и 2-
го рода, где k (t − τ) − ядро и все входящие функции являются оригиналами. При переходе к операторному уравнению надо принять во внимание, что интегралы в (2.12) – свертки оригиналов и неизвестной функции.