Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Государственный Лесотехнический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

UMK11

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2016

Размер:

3.4 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2313 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Признак Даламбера. Если существует конечный предел lim a n +1 = l ,

n→∞ a n

то при 0 ≤ l < 1 ряд (2.43) сходится абсолютно, а при l > 1 − расходится (при

∞

l > 1 расходится не только ряд ∑ a n , но и ряд (2.43)).

n =1

Признак Коши. Для числового ряда (2.43) положим lim n a n = l . То-

n→∞

гда, если 0 ≤ l < 1, то ряд сходится абсолютно, если l > 1 − ряд расходится. Обобщением степенного ряда (2.44) является ряд по целым отрицатель-

ным степеням z − z0 вида

∑∞ a −n (z − z0 )−n =	a −1	+	a −2	+K +	a −n		+ K (2.45)
			(z − z0 )2		(z − z 0 )n
n =1	z − z0
Областью сходимости этого ряда является внешность круга						z − z0		> r , где r

определяется также с помощью признаков Даламбера и Коши.

2.6.2. Ряды Тейлора и Лорана

Функция w = f(z), однозначная и аналитическая в точке z0 , разлагается в окрестности этой точки в степенной ряд

∞

f(z) = ∑a n (z − z0 )n , (2.46)

n=0

коэффициенты которого определяются по формулам

a n =

f (n)(z0 )

или a n =

∫

f(z)dz

(n = 0,1,2,K)

(2.47)

2π i

z−z0

=ρ (z − z0 )n+1

Этот ряд называется рядом Тейлора для функции f(z).

Радиус R круга сходимости

z − z0

< R ряда Тейлора (2.46) - (2.47) ра-

вен расстоянию от точки z0 до ближайшей к z0 особой точки функции f(z)

(особая точка, это такая точка в которой функция не является аналитической). Приведем разложение в ряды Тейлора некоторых элементарных функций

в окрестности точки z0 = 0 .

∞

(R = ∞),

e z = 1 +

+K+

+K= ∑

n=0

∞

2 n+1

∞

2 n

sin z = ∑(− 1)n

cos z =

∑

(− 1)n

(R = ∞),

(2n)!

n=0

(2n + 1)!

n=0

∞

2 n+1

∞

2 n

sh z =

∑

ch z = ∑

(R = ∞),

(2.48)

n=0 (2n + 1)!

n=0 (2n)!

1 = ∑ zn ,		ln(1 + z) = ∑	(− 1)	n+1	z	n	(R = 1) .
	∞	∞
1 − z n=0		n=1	n

Функция f(z), однозначная и аналитическая в кольце r < z − z0 < R (не исключаются случаи, когда r = 0, R = ∞ ), разлагается в этом кольце в обобщенный степенной ряд

f(z) =	∞	0 )n =	−1	∞
f(z) =	∑ a n (z − z	0 )n =	∑ a n (z − z	0 )n + ∑ a n (z − z0 )n ,	(2.49)
	n=−∞		n=−∞	n=0

коэффициенты которого определяются по формулам:

		1				f	z dz
a n	=	1		∫			( )	.
a n	=			∫				.
	2π i			z−z0	=ρ (z − z0 )n+1


			r<ρ<R

Этот ряд называется рядом Лорана функции f(z).

В формуле (2.49) ряд f1 (z) =	−1	0 )n
В формуле (2.49) ряд f1 (z) =	∑ a n (z − z	0 )n
	n=−∞

(2.50)

∞	a −n
= ∑		называет-
	(z − z0 )n
n=1

ся главной частью ряда Лорана, а ряд

∞

f2 (z) = ∑ a n (z − z0 )n − называется правильной частью ряда Лорана.

n=0

Формулы (2.50) малоудобны для вычисления коэффициентов ряда Лорана, поэтому часто для разложения функции в ряд Лорана пользуются искусственными приемами, которые будут рассмотрены на примерах. Ряды Тейлора и Лорана функции f(z) определяются единственным образом. Эти ряды в облас-

ти сходимости можно почленно дифференцировать и интегрировать.

Примеры решения задач
∞	n!(e − i)n
ПРИМЕР 2.38. Исследовать на сходимость ряд ∑		.
ПРИМЕР 2.38. Исследовать на сходимость ряд ∑	nn	.
n=1	nn

Решение. К ряду из абсолютных величин членов данного ряда применим

признак Даламбера:

lim

n +1

= lim

(n +1)(! e − i)n+1 n n

a n

(n +1)n +1 n!(e − i)n

n→∞

−n

e2 +1

e − i

lim

= e

lim 1

= 1 +

> 1.

n→∞ n +1

n→∞

Следовательно, ряд расходится.

ПРИМЕР 2.39. Найти радиус и круг сходимости рядов

∞		zn		∞	(z + i − 1)n
а) ∑			;	б) ∑						.
а) ∑	(1	+ i n)n	;	б) ∑		n			n	.
n=0				n=0		n			n
n=0				n=0	e 2			+ i e 2
					e 2		1	+ i e 2

Решение. а) Применим признак Коши к ряду из абсолютных величин

= lim n

= lim

данного ряда lim n

u n

lim

(1 + in)n

+ in

n→∞

1 + n 2

= 0 <1. Следовательно, данный ряд сходится, и притом абсолютно, для всех z. Роль круга сходимости выполняет вся плоскость, радиус сходимости R = ∞.

б) По признаку Даламбера имеем

z +1 − i

1 + ie

(z + i −1)n +1 e

(1 + ien 2)

lim

n +1

= lim

u n

n+1

n +1

n→∞

1 + ie

+ i

+1)n

1 + ie

z + 1 − i

lim

1 + en

< 1. Отсюда заключаем, что ряд сходит-

n+1

n→∞

1 + e

ся абсолютно в области

z + 1 − i

< e, т.е. в круге радиуса R = e с центром в

точке z0 = −1 + i .

(1 + i)n+1

∞

z n

ПРИМЕР 2.40. Найти область сходимости ряда ∑

+ ∑

z n

2 n+1

n=1

n=0

Решение. Рассмотрим отдельно ряды по положительным и отрицатель-

∞

ным степеням z. Ряд ∑

можно рассматривать как ряд, составленный из

2 n+1

n=0

членов геометрической прогрессии со знаменателем q = z . Такой ряд сходит-

ся при условии

< 1, т.е. в круге

< 2 радиуса R = 2 .

∞

(1 + i)n+1

Для ряда ∑

(1 + i)n+1

n=1

(1 + i)n+2

un =

un+1 =

a −n = (1 + i)n+1 , a −(n +1) = (1 + i)n +2 .

, где

n+1

Применяя

признак

Даламбера,

получаем

lim

= lim

(1 + i)n+2 zn

u n

zn+1 (1 + i)n+1

n→∞

1 + i

< 1. Откуда

, т.е. областью сходимости ряда по отрица-

r =

тельным степеням z является внешность круга радиуса

с центром в

точке z0 = 0 .

Таким образом, данный степенной ряд Лорана сходится в области, общей

< 2 .

для того и другого ряда, которая есть кольцо

ПРИМЕР 2.41. Разложить функцию w = f(z)

в ряд Тейлора в окрестно-

сти точки z0

и указать радиус сходимости: а)

f(z) = ez ,

z0 =

;

б)

f(z) =

z0 = 2 ;

z + 1

f(z) = ez sin z,

z0 = 0 .

в)

Решение.

а)

Воспользуемся известным разложением для ez

(формулы

z−

(2.48)); с этой целью преобразуем функцию к виду ez

2 =

= e

e e

2 .

Заменяя в

разложении

z на

z −

, получим

ряд

Тейлора

−

1 n

∞

, для которого радиус сходимости R = ∞ .

e ∑

n=0

б) Выделим в дроби целую часть, а затем знаменатель правильной дроби

преобразуем так,

чтобы

в нем

было

слагаемое (z − 2):

= 1 −

z + 1

= 1 −

. Используя разложение функции

z − 2 + 3

z −

3 1 +

мулы (2.48)), получим

(− 1)n (z − 2)n

= 1 −

∞

(− 1)

n z − 2 n

= 1 −

∞

∑

z + 1

3 n=0

Радиус сходимости R = 3, так как ближайшая особая точка лена от центра круга сходимости z0 = 2 на расстоянии, равном 3.

в) Представим данную функцию следующим образом:

(фор-

1 + z

z = −1 уда-

sin z = ez

ei z − e−i z

e(1+i)z

− e(1−i)z

. Тогда

2 i

2 i (

)

∞

((1 + i)z)n

∞

((1 − i)z)n

ez sin z =

∑

−

∑

n=0

2 i n=0

∞

(1 + i)n

− (1 − i)n

∑

z n ,

R = ∞ .

2 i n=0

ПРИМЕР 2.42. Разложить в ряд Лорана функцию

f(z) =	1
	(z − 2)(z − 3)

по степеням z (приняв z0 = 0).

Решение.

Функция f(z) не аналитична в точках z1 = 2 и z2 = 3 . Сле-

довательно, можно выделить три кольца с центром в точке z0

= 0, в каждом из

которых f(z) является аналитической:

а) круг

< 2 , б) кольцо 2 <

< 3,

в) 3 <

< ∞ − внешность круга

< 3.

Разложим

функцию на сумму

простейших дробей

(z − 2)(z − 3)

= −

z −

< 2 функция f(z) аналитична. Коэффициенты ряда Лорана

а) В круге

при степенях с отрицательными показателями равны нулю, ибо они выражаются интегралами от аналитической функции по замкнутому контуру. Ряд Лорана совпадает с рядами Тейлора. Запишем каждую из дробей в виде

−

;

= −

и воспользуемся разложе-

z − 2 2

− z 2 1 −

z − 3

3 1 −

нием в ряд Тейлора функции

(формулы 2.48)). В силу чего имеем

1 − z

∞

z n

∞

(

< 2),

−

∑

−

2 2 n=0

n=0 2n+1

∞

z n

∞

(

< 3)

= −

∑

= −

∑

z − 3

3 n=0 3

n=0

3n+1

∞

∑

−

(z − 2)(z − 3)

2n+1

n=0

3n+1

Ряд Лорана содержит только правильную часть:

f(z)

a −n = 0, a n

−

(n = 0,1,K)

2 n+1

3n+1

б) В кольце 2 <

∞

z n

3 ряд ∑

для функции

сходится, поэто-

3n+1

z −

n=0

∞

му по-прежнему

= −

∑

, а ряд

∑

для функции −

рас-

−

3n+1

2n+1

z −

n=0

ходится,

поэтому

функцию

преобразуем

виду

z − 2

z −

z 1 −

Представим

в виде суммы геометрической

прогрессии со знаменателем

1 −

2 n−1

q =

= 1

+K+

+K.Этот ряд сходится для

< 1,

1 −

> 2 . Тогда

∞

2 n

∞

2n−1

(

> 2) .

т.е.

при

∑

z −

2 z

n=0

n=1

∞

n−1

∞

Таким образом,

= −

∑

−

∑

. Ряд Лорана со-

− 2)(z − 3)

3n+1

n=1

n=0

держит

правильную

главную

части: a −n

= −2n−1 (n = 1,2,K),

a n =

3n+1

(n = 0,1,2,K).

∞

n−1

в) В области 3 <

< ∞ ряд ∑

для функции

сходится, а ряд

− 2

n=0

∞

∑

для функции

расходится. Поэтому функцию

представим в

3n+1

z −

n=0

− 3

3 n

∞

3n−1

(

> 3) . Тогда имеем

виде

−

∑

= ∑

z − 3 z

−

z n=0

n=1

z n

n−1

−

n−1

= −∑

+ ∑

= ∑ 3

( z > 3) .

∞

(z − 2)(z − 3)

n=1

n=1 zn

n=1

= 0, a −n = 3n−1 − 2n−1

Ряд Лорана содержит только главную часть:

a n

(n = 1,2,K). Приведенный пример показывает, что для одной и той же функ-

ции ряд Лорана имеет, вообще говоря, разный вид для разных областей .

ПРИМЕР 2.43. Разложить в ряд Лорана в окрестности точки z0 следующие функции:

а) f (z) = z5 e z , z0 = 0 ;

б) f (z) =

, z0 = −1;

z2 (z − 1)

в) f (z) =

, z0 = 0 .

z2 (z − 1)

а) Функция z5 e

аналитична всюду, кроме z0 = 0, поэтому ее

Решение.

можно разложить в ряд Лорана в кольце: 0 <

< R (R = ∞). В силу (2.48)

1 n

∞

имеем

e z

∑

. Отсюда получаем z5 e z = z5 ∑

n!z n

n=0

zn n!

n=0

= z5 + z4 +

+K.

4! 5!

6!z

б) Функция

аналитична в точке z0

= −1. Поэтому в окрестно-

z2 (z

− 1)

сти точки z0 = −1 ее можно разложить в ряд Тейлора,

причем ряд будет схо-

диться в круге с центром в

= −1 радиуса

R = 1 (расстояние

от точки

z0 = −1 до ближайшей особой точки z0

= 0 ). Разложим функцию на сумму

простейших дробей:

−

z2 (z − 1)

z − 1

В силу (2.48) имеем

= −

∞

z + 1 n

(

z + 1

< 2),

∑

z +

z −

1 z

+ 1 − 2

1 −

2 n=0

∞

(

< 1)

= −

= − ∑(z + 1)n

z + 1

+ 1 −

1 − (z + 1)

z z

n=0

Ряд

для

функции

найдем

почленным

дифференцированием

ряда

1 ′

∞

n−1

(

< 1).

функции

−

∑ n(z

+ 1)

z + 1

n=0

Таким образом, в круге z +1 < 1 получаем

			1			∞	−		1
					= ∑
	z	2	(z	− 1)	= ∑			2	n+1
	z		(z	− 1)		n=0		2
в) Функция							1

						z2 (z − 1)

− 1 + (n + 1) (z + 1)n .

аналитична в кольце 0 < z < 1, поэтому ее ряд

∞

Лорана имеет вид:

= −

∑ z n

z 2 (z −1)

1 − z

z 2

n =0

∞

= −

−

− 1 − z − z2 −K= −

−

− ∑ zn . Главная часть Лорана в окре-

n=0

∞

стности z

= 0

(z) = −

−

, а правильная f

(z) = − ∑ zn .

n=0

2.7. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

2.7.1. Классификация изолированных особых точек

Точки плоскости z, в которых однозначная функция f(z) является ана-

литической, называют правильными точками функции, а точки, в которых функция не является аналитической, называют особыми точками (в частности, точки, в которых f(z) не определена).

Точка z0 называется изолированной особой точкой функции f(z), если f(z) аналитична в некоторой окрестности этой точки, за исключением самой

точки z0 .

В зависимости от поведения функции в окрестности особой точки различают три типа особенностей.

Изолированная особая точка z0 функции f(z) называется:

а) устранимой особой точкой, если существует конечный предел

lim f(z) = C ≠ ∞ ,			(2.51)
z→z0
б) полюсом, если
lim f (z) = ∞ ,			(2.52)
z→z0
причем полюсом k − го порядка, если
z→z0[	]
lim (z − z0 )k f (z)		= C ≠ ∞	(2.53)
и простым полюсом при k = 1;			не существует lim f (z) (ни ко-
в) существенно особой точкой, если			не существует lim f (z) (ни ко-
			z→z0

нечный, ни бесконечный).

2.7.2. Ряды и особые точки

Имеют место следующие утверждения

10 . Для того, чтобы изолированная особая точка z0 функции f(z) была устранимой, необходимо и достаточно, чтобы лорановское разложение f(z) в

окрестности точки z0 не содержало главной части, т.е. имело вид

∞		+ a1 (z − z0 ) + a 2 (z − z0 )2 +K (2.54)
f (z) = ∑ a n (z − z0 )n = a 0		+ a1 (z − z0 ) + a 2 (z − z0 )2 +K (2.54)
n=	0

20 . Для того, чтобы изолированная особая точка z0 функции f(z) была полюсом k − го порядка, необходимо и достаточно, чтобы главная часть лорановского разложения содержала лишь конечное число (k) членов

f (z) =

a −k

a −1

∞

(z − z

)n , a

+K+

+ ∑ a

≠ 0.

(2.55)

(z − z0 )k

z − z0

−k

n=0

30 . Для того, чтобы особая

точка z0

функции f(z)

была существенно

особой, необходимо и достаточно, чтобы главная часть лорановского разложения содержала бесконечно много членов.

2.7.3. Нули аналитической функции. Связь между нулем и полюсом

Точка z0 называется нулем функции f(z), если f (z 0 ) = 0. Точка z0 на-

зывается нулем порядка k , если		f (		) (z0 ) ≠ 0.	(2.56)
f (z 0 ) = f ′(z 0 ) =K= f (	) (z 0 ) = 0 , а		k
	k−1
Ряд Тейлора в окрестности точки z0 − нуля порядка k функции f (z) −
имеет вид f (z) = a k (z − z 0 )k	+ a k+1 (z − z 0 )k+1 +K.
Теорема 2.2. Для того, чтобы точка z0		была нулем порядка k функции
f(z), необходимо и достаточно, чтобы имело место равенство
f(z) = (z − z0 )k ϕ(z),					(2.57)
где ϕ(z) − аналитична в точке z0 и ϕ(z0 ) ≠ 0.

Для определения порядка нуля функции полезно помнить, что если z0 −

нуль порядка k для g1 (z) и нуль порядка l для g 2 (z) , то z0 − нуль порядка k + l для произведения g1 (z) g 2 (z), порядка k − l (при k > l) для частного

g1	(z)	;	z0 − правильная точка, не являющаяся нулем при k = l и особая
g2 (z)

точки при k < l.

Теорема 2.3. Для того, чтобы точка z0 была полюсом порядка k для функции f(z), необходимо и достаточно, чтобы эта точка была нулем порядка

k для функции ( ). f z

2.7.4. Особенности функции в бесконечно удаленной точке

Под точкой z = ∞ понимают абстрактную точку плоскости z, окрестностью которой является множество чисел z, удовлетворяющих неравенству

z > R , где R − любое действительное положительное число.

Ряд Лорана функции w = f(z) в окрестности точки z = ∞определяют с

= ϕ(ζ) в окрест-

помощью замены переменной z =

для функции w = f

ности точки ζ = 0. Ряд Лорана в окрестности точки z = ∞ имеет вид

f (z) =

∞

∑ a −n z −n + ∑ a n zn ,

n=0

n=1

где f1 (z)= ∑∞ a n z n

= a1 z + a 2 z 2 +K + a n z n +K − главная часть,

n=1

a −1

a −2

a −n

f 2 (z)= ∑∞

a −n z −n

= a 0 +

+K +

+K − правильная часть.

z 2

z n

n =0

Поведение функции в окрестности бесконечно удаленной точки дает воз-

можность классифицировать ее особенности в этой точке.

Точка

z = ∞ называется устранимой особой точкой

функции,

если

lim f(z) =

, где

< ∞ .

z→∞

Ряд

Лорана

этом случае

не содержит

положительных степеней

f(z) = f2 (z) = a 0 +

a −1

a −2

+K.

Точка

z = ∞

называется

полюсом

порядка

функции,

если

lim f(z) = ∞.

z→∞

Ряд Лорана в этом случае содержит конечное число (k) положительных

степеней:

∞

(a −k ≠ 0).

f(z) = a k zk + a k −1 zk −1 +K+a1 z + ∑a −n z−n

n=0

Точка

z = ∞ называется существенно

особой для

функции,

если

lim f (z) не существует.

z→∞

Ряд Лорана в этом случае содержит бесконечное число положительных степеней z .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2313 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.09.2019397.82 Кб25Taxatsia_lesa.doc
#
03.06.20151.49 Mб7telsprav.pdf
#
26.04.2019243.71 Кб4teoria_kultury.doc
#
03.06.201571.17 Кб12Testy_kabinet.doc
#
03.06.2015330.75 Кб50topref.ru-17132.doc
#
27.03.20163.4 Mб43UMK11.pdf
#
16.11.2019344.02 Кб29Untitled0.doc
#
03.06.2015538.18 Кб5Urok_4_Zaprosy_KU.pdf
#
30.08.2019519.68 Кб31vmest.doc
#
03.06.201552.63 Кб8Vodnye_resursy_Sverdlovskoy_oblasti_Lektsia_1.docx
#
03.06.2015167.94 Кб16VOPROSY_K_EKZAMENU_PO_EP.doc