Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Государственный Лесотехнический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

UMK11

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2016

Размер:

3.4 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2322 23 > Следующая >>>

																																	1						3
																																	1						3								1										3
					.											p −1												p +							−								p +																.


		1		→e						t	;													=									2						2	=							2			−	3			2						→
				→e							;													=																=										−	3									→
	p −1 .												p 2 + p + 1																				1			2			3						1		2		3						1			2	3 .
																											p +									+					p +						+						p +					+
																											p +									+			4		p +						+		4				p +					+	4
																																	2						4						2				4						2				4
.					t
			−		t									3															3
			−											3															3

→ e					2												t −				3 sin
					2
						cos								2															2			t .
.														2															2
.
																			t																	π
						1							t					−	t										3
																		−
Ответ:									e					+ 2 e					2		sin											t −
																			2
																																					.
						3																							2							6

ПРИМЕР 2.21. Решить интегро-дифференциальное уравнение
	x′(t) ±					t								~
	x′(t) ±					∫				(t − τ)x (t )dτ = 1 ± t, x (0) = 0 .
						0
														.					(p), x′(t)														.
Решение. x (t )← X																			(p), x′(t)													← p X (p) − 0 = p X (p). Свертке
														.																			.
	t													.					1
	∫	(t − τ)x (τ)dτ ←																	1						X (p).
	∫	(t − τ)x (τ)dτ ←																							X (p).
0														.					p 2
В силу этого искомое операторное уравнение имеет вид
p X (p) ±										1				X (p) =								1			±			1			=			p ± 1				,
p X (p) ±										p 2				X (p) =											±						=							,
										p 2												p						p 2							p 2
							p ± 1																																			3										t
X (p) =																				1													2														.		2		±					3
																																									2

																=														=																		→			e 2 sin							t.
																=														=																		→			e 2 sin							t.
							p3 ± 1 p 2 m p +																						1				3								1 2			+		3 .			3					2
																																							p m
																																							p m							4
																																									2					4
															t
Ответ:						2						e		±	t								3			t .
														±
																2 sin
																2 sin
								3												2

УЧЕБНО - МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

РАЗДЕЛ 11 «ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ»

3. Материалы для самостоятельной работы студентов

3.1.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Понятие оригинала. Условия, которому удовлетворяет оригинал. Единичная функция Хевисайда

2.Изображение Лапласа. Необходимое условие. Аналитичность изображения (формулировка).

3.Единственность оригинала. Свойства линейности изображения Лапласа.

4.Теоремы подобия, запаздывания и смещения.

5.Дифференцирование оригинала. Следствие. Интегрирование оригинала.

6.Интегрирование изображения.

7.Свертка функций. Теорема Бореля.

8.Интеграл Дюамеля.

9.Первая и вторая теоремы разложения.

10.Операторный метод интегрирования линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

3.2. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

3.2.1. Найти изображения функций f (t) и f ′(t)

1)f (t) = sin t − t cos t;

2)f (t) = t sin t + cos t;

3)f (t) = e−t sin 2 (t);

4)f (t) = 1 (ch t sin t + sh t cos t); 2

3.2.2.Найти изображения функций

	t		ch τ −1
1)	∫		ch τ −1					dτ;
1)	∫							dτ;
	0			τ
	t				−τ
2)	∫	1 − e					dτ;
2)	∫			τ			dτ;
	0			τ
	t			sh τ
3)	∫			sh τ		dτ;
3)	∫					dτ;
4)	0			τ
4)	∫ cos βτ − cos ατ dτ;
	t
	0						τ

3.2.3. Используя теорему запаздывания, найти изображения следующих функций:

1) f (t) = 1 при 0 ≤ t < τ
0 при	t ≥ τ

течение промежутка времени от t = 0

0	при	t < T
	при T ≤ t < T + τ
2) f (t) = 1
	при	t ≥ T + τ
0

(единичный импульс, действующий в

до t = τ ).

(запаздывающий единичный импульс).

h				при 0 ≤ t < τ
		t
	τ	t
				при τ ≤ 2τ
3) f (t) = h				при τ ≤ 2τ
−		h	(t − 3τ) при 2τ ≤ t < 3τ
−		τ	(t − 3τ) при 2τ ≤ t < 3τ
		τ

0				при	t ≥ 3τ
h				при 0 ≤ t < 1
4) f (t) = h e−(t−1)				при	t ≥ 1 .

sin t				при 0 ≤ t < π
5) f (t) =				при	t ≥ π
sh(t − π)				при	t ≥ π

3.2.4. Используя результат примера 2.4, зная функцию f0 (t) и период l,

найти изображения следующих периодических функций.

1 при 0 ≤ t < τ
1) f (t) =		; l = T
0	при	τ ≤ t < T

(периодическая последовательность единичных импульсов)

h		при 0 ≤ t < c
	t

		; l = 2c
2) f (t) = c
−	h	при c ≤ t < 2c
	c

Найти изображение функций

3)f (t) = 1 + e−t η(t −1);

4)f (t) = 5 − 2t η(t − 3);

3.2.5. Найти оригинал по заданному его изображению и сделать проверку

3 − 2 p3

4 − p

p + 2

; 2)

(p2 +1)p2

;

p 4

(p − 2)3

p2 −1

5 p3 + 5 p2 −11p + 3

;

p + 3

;

(p + 3)p3

p2 − 2p + 5

p2 + 6p +11

3p4 −12p3 +16p2 − 6p + 8

;

3p + 2

;

p5 − 4p4 + 5p3

(p2 − 4p + 6)2

(2 − 3e−p + e−3p );

e−2p ; 12)

−

10)

11)

;

(p + 4)4

(p2 +1)2

3.2.6. Используя теорему умножения изображений и формулу Дюамеля, найти оригиналы f (t) для следующих изображений:

1					k				p		1
1)			;	2)	p(p2 + k 2 );	3)				;	4)		;
		p2 (p − a)						(p2 + a 2 )2				(p2 + a 2 )2
				1					p 2
5)	(p2 − 6p +13)(p2 − 6p +10);						6)		(p 2 + 4)(p 2 + 9);

3.2.7. Используя первую теорему разложения, найти оригинал f (t) по его изображению

1) 1) 1 cos 1 ; 2) 1 sin 1 ; p p p p

3.2.8. Используя вторую теорему разложения, найти оригинал f (t) для

следующих изображений:							p + 1
		p2 +1
1)				;	2)				;
		p(p +1)(p + 2)(p + 3)					p2 (p −1)(p + 2)
		1	;		1			;
3)					4)
	(p −1)2 (p − 2)3					(p +1)3 (p + 3)

3.2.9. Решить дифференциальные уравнения при указанных начальных условиях

1)	x′′ + 4x = cos 3t, x(0) = x′(0) = 2 .
2) x ′′− 2α x′ + (α2 + β2 )x = 0; x(0) = 0, x′(0) = 1.
3)	x ′′′+ x′ = e2 t ; x(0) = x′(0) = x ′′(0) = 0.
4)	x iv + x ′′′= cos t; x(0) = x′(0) = x ′′(0) = 0, x ′′′(0) = 2.
5) 4x ′′′− 8x ′′− x′ − 3x = −8 et ; x(0) = x′(0) = x ′′(0) = 1.
6)	x iv + 4x = t 2 ; x(0) = x′(0) = x ′′(0) = x ′′′(0) = 0.
7)	x (v) + 2 x ′′′+ x′ = 2t + cos t; x(0) = x′(0) = x ′′(0) = x ′′′(0) = x (iv) (0) = 0

8)x′′ − 2x′ + 2x = 1 + η(t −1), x(0) = x′(0) = 0.

9)x ′′+ ω2 x = a{η(t) + η(t − τ)}, x(0) = x′(0) = 0.

3.2.10. Решить систему дифференциальных уравнений

	x′	+ y = 0,						x(0) ≠ y(0) = 1.
1)		− 2x − 2y =					0,	x(0) ≠ y(0) = 1.
	y′	− 2x − 2y =					0,
		+	2x	+	2y	=	10 e2 t , x(0)		=	1
	x′		2x		2y		10 e2 t , x(0)			1
2)		− 2x + y = 7 e2t ,						y(0) = 3
	y′	− 2x + y = 7 e2t ,						y(0) = 3

	2x′ + y′ − 3x = 0							x(0) = −1, x′(0) = 1, y(0) = 0.
3)								x(0) = −1, x′(0) = 1, y(0) = 0.
	x ′′+ y′ − 2y = e2t
	x′	= y − z
4)							x(0) = 1, y(0) = 2, z(0) = 3.
	y′ = x + y,						x(0) = 1, y(0) = 2, z(0) = 3.

3.2.11.Применив интеграл Дюамеля, решить дифференциальные

уравнения

1) x′′ + x′ = t; x(0) = x′(0) = 0.

2) x ′′′+ x′ = et ; x(0) = x′(0) = x ′′(0) = 0.

3.2.12. Проинтегрировать ЛДУ при нулевых начальных условиях

			1	при	0 ≤ t < 1,
1)	x ′′+ x = f (t),		f (t) = −1	при	1 ≤ t < 2,
				при	t ≥ 2.
			0	при	t ≥ 2.
	x ′′− y = 0		1	при	0 ≤ t < π,
2)	x ′′− y = 0	,			π ≤ t < 2π,
2)		,	f (t) = −1	при	π ≤ t < 2π,
	y ′′− x = f (t)			при	t ≥ 2π.
			0	при	t ≥ 2π.

ОТВЕТЫ:

3.2.1.

p(p2 + 3)

p2 −1

;

(p2 +1);

(p2 +1)2

(p +1)(p2 + 2p + 2),

(p +1)(p2 + 2p + 2);

;

p 4 + 4

3.2.2.

1 p +1

1) −

1 −

;

ln 1 +

;

2p p −1

p2 + α2

p − α

; 5)

;

p 2 + β2

p − β

3.2.3.

(1 − e−pτ − e−2pτ + e−3pτ );

(1 − e−pτ ); 2)

(1 − e−pτ )e−pT ; 3)

τ p2

−p

−pπ

4) h

; 5)

p(p −1)

3.2.4.

e−(p+1)

1 − l−pτ

p(1 − l−pτ ); 2)

; 3)

;

cp2

p +1

e−3p

−

e−2p

+ 2

3.2.5.

1) −

e−t

sin 2t; 2) e3 t cos(t

); 3) 3 +

t 2

− 2 e2 t cos t − e2t sin t ;

4) e

t +

2 sin(t

2 )− 2t cos(t

2 ));

5) 2 − 3 η(t −1)+ η(t − 3);

6)	1	t 3 [1 + e−3t η(t − 2)]; 7)					1		(t cos t + sin t);
6)	6	t 3 [1 + e−3t η(t − 2)]; 7)					2		(t cos t + sin t);
	6						2
3.2.6.
1)	1		(ea t − a t −1); 2)		1	(1 − cos kt ); 3)					t	sin at;
1)	a 2		(ea t − a t −1); 2)			(1 − cos kt ); 3)						sin at;
	a 2				k						2a
4)	1			(sin at − at cos at); 5)					1	e3 t (2 sin t − sin 2t);
4)	2 a 3			(sin at − at cos at); 5)				6		e3 t (2 sin t − sin 2t);
	2 a 3							6

6)1 (3sin 3t − 2 sin 2t); 5

3.2.7.

∞

(−1)k t 2

∞

(−1)k

t 2k+1

1) ∑

;

2) ∑

;

k=0

[(2k)!]2

k=0

[(2k +1)!]2

3.2.8.

− e−t +

e−2 t −

e−3t ;

2) −

−

t +

e t +

e−2t ;

3) 1 (t 2 e2 t − 4t e2t + 6 e2t − 2 t et − 6 e t ); 2

1 ( 2 −t − −t − −t − −3t )

4) 2t e 2t e e e .

3.2.9.

1)x

2)x

3)x

4)x

5)x

6)x

= 11 cos 2t − 1 cos 3t 5 5

=1 α

e t sin t.

=− 1 + e2 t + 2 cos t

2 10 5

= t 2 − t +1 − 3 e−t +

=et

=1 (t 2 − sin t sin t).

+sin 2t

−1 sin t .

cos t − sin t

2 2

	2			3		3		1		2
7) x = t		− 4 + 4	−		t cos t +		+ t −		t		sin t
				8		8
								8

8)		[1 − e t (cos t − sin t)] 1(t) +		[1 − e t (cos(t −1) − sin(t −1))]η(t −1)
x =	1		1

2		2

9)x = 2a sin 2 ωt [η′(t) − η(t − τ)]

ω2 2

3.2.10

	t	(cos t − 2 sin t)				2t
x = e		(cos t − 2 sin t)			x = e
1)		(cos t + 3sin t)			2)
	t							2t
y = e	t				y = y = 3e			2t
y = e					y = y = 3e
3.2.12.
1) x(t) = 2 sin 2			t	− 2η(t −1)sin 2		t −1	+ η(t − 2)sin 2		t − 2	.
1) x(t) = 2 sin 2				− 2η(t −1)sin 2			+ η(t − 2)sin 2			.
			2			2
			2			2			2

2) x(t) = 1 (ch t + cos t − 2) − η(е − π)[сh(t − π) + cos(t − π)]+ 2

+1 η(t − 2π)[ch(t − 2π) + cos(t − 2π) − 2]. 2

y(t) = 1 (ch t − cos t) − η(t − π)[ch(t − π) − cos(t − π)]+ 2

+1 η(t − 2π)[ch(t − 2π) − cos(t − 2π)]. 2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2322 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.09.2019397.82 Кб25Taxatsia_lesa.doc
#
03.06.20151.49 Mб7telsprav.pdf
#
26.04.2019243.71 Кб4teoria_kultury.doc
#
03.06.201571.17 Кб12Testy_kabinet.doc
#
03.06.2015330.75 Кб50topref.ru-17132.doc
#
27.03.20163.4 Mб43UMK11.pdf
#
16.11.2019344.02 Кб29Untitled0.doc
#
03.06.2015538.18 Кб5Urok_4_Zaprosy_KU.pdf
#
30.08.2019519.68 Кб31vmest.doc
#
03.06.201552.63 Кб8Vodnye_resursy_Sverdlovskoy_oblasti_Lektsia_1.docx
#
03.06.2015167.94 Кб16VOPROSY_K_EKZAMENU_PO_EP.doc