UMK11

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Государственный Лесотехнический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

15. 5 1 + i;

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2016

Размер:

3.4 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2316 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

3.2.19. а) образом прямой y = c (c ≠ 0)является эллипс	u2	+	v2	= 1 ,
	ch2 c		sh2 c

образом прямой y = 0 является отрезок действительной оси − 1 ≤ u ≤ 1;

б) верхняя половина эллипса	u2	+	v2	≤ 1, v ≥ 0.
	ch2 c		sh2 c

3.2.20. G w − часть кольца в первом квадрате, образованного эллипсами

= 1 и

= 1.

5 2

10 2

3 2

8 2

в) нет; г) да, f ′(z) = 2zez2 .

3.2.21. а) нет;

б) да,

f ′(z) = 3cos 3z ;

3.2.22. а) нет;

б) да;

в) нет.

3.2.24. 1) w = u + iv = (x3 − 3xy2 ) + i(3x2 y − y3 ) = z3 ;

2) w =		x	+ i	−		y	+ C	; 3) w = 3e
	x2	+ y2			x2	+ y2

3.2.25. а) k = 3, ϕ = 0 ;						б) k = 6,ϕ = − π .
				− π .				2
3.2.26. а) 1, 0 ;			б) 1,
				2

3.2.27. растягивается внешность круга z > 1 2

круга z < 1 .

2 x (− sin 2y + i cos2y) + C .

; сжимается внутренность

3.2.28. а) да;	б) да; в) нет.
3.2.29. а) 0;	б) −	9	π
3.2.29. а) 0;	б) −		π
	2
3.2.30. а) i ;	б) i π ;			в)	2 π i .
	2
3.2.31. cos1 − sin1 − i e−1 .
3.2.32. а) 0;	б) π ;			в)	− π ; г) 0.
	3				3

3.2.33.2π i

3.2.34.4 π i .

3.2.35. 1) 0; 2) −	2	π i sin 2 ;	3)	π i ;	4) −	π i	;	5) −	2	π i .

3				e	2			3

3.2.36. 1) сходится; 2) расходится; 3) сходится.

3.2.37. 1)

z + i

< 3;

2) z = 0;

z + 1 − i

> 1; 4) всюду расходится

(− 1)

2 n

z −

∞

(R = ∞)

3.2.38. 1) ∑

(2n)!

n=0

2) ∑∞ (−1)n (z3n − z3n +1 ) (R = 1),

n =0

3) ln 4 + ∑∞ (−1)n+1 (z + 3)2n

(R = 2)

n=1

n 4n

∞

(− 1)

(− 1) z

3.2.39. 1)

∑

; 2)

∑ (− 1)n (z − 1)n ;

2n+1

n=1

n=0

n=2

3) ∑

; 4)

(z − i)2 − 1

+ ∑

(− 1)

n−1

∞

n−2

∞

n=1

(2n + 3)!(z − i)2 n

3.2.40. 1) z = ±3i − нули 3.2.-го порядка, z = ±2 i − нули 5-го порядка,

2) z = 2kπi

(k = 0,±1,±2,K) − нули 3.2.-го порядка, z = ±2 − нули 3-го

порядка;

3) z = 0 − ноль 2-го порядка.

3.2.41. 1) z = 0 и z = −1 − простые полюсы, z = 1 − полюс 3-го порядка; 2) z = 1 − существенно особая точка; 3) z = −π − устранимая особая точка, z = ±1 − простые полюсы; 4) z = 0 − существенно особая точка.

3.2.42.1) полюс 2-го порядка; 2) устранимая особая точка;

3)полюс 3-го порядка; 4) существенно особая точка.

3.2.43.

res f (1) =

, resf (0) = −2,

f(− 1) =

;

res f(1) =

;

3) res f(± 1) =

sin(± 1)

, res f(− π) = 0; 4) res f(0) = 1.

± 2(π ± 1)

3.2.44.

− 1;

2) 0;

3) − 81;

4) 0

3.2.45.

8 i

(2 + π i) ;

2) −

π i

; 3) −

2 π i

; 4) − π2 i .

3.3. РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задание №1

Найти модуль и главное значение аргумента комплексного числа, пред-

ставить его в тригонометрической и показательной формах. Изобразить число на комплексной плоскости

1.	2 + 5i ;										+											23.	1 − i ;
1.	2 + 5i ;				12.		2				+					2i ;						23.	1 − i ;
2.	− 2 + 5 i ;					− i																24.	− 2 + 2 i
2.	− 2 + 5 i ;				13.	− i			3 ;													24.	− 2 + 2 i
3.	2 − 5i ;				14. 1 − i ;																	25.	7 + 3i ;
4.	− 2 − 5 i ;												+ i ;										− 1 +
4.	− 2 − 5 i ;				15.		3						+ i ;									26.	− 1 +						2 i ;
	π			π																			− 1 − 5i ;
5.	π			π	16.	i			3 ;													27.
5.	− cos		+ i sin	;	16.	i			3 ;													27.
	5			5																			− 1 − 2 i ;
	− 2 + 2					−									− i ;							28.
6.	− 2 + 2	3 i ;			17.	−							3		− i ;							28.
7.	− 7 − i ;													+ i 2						;		29.	1 4 + 3i ;
7.	− 7 − i ;				18.	3				2				+ i 2					2	;		29.	1 4 + 3i ;
8.	4 − 3i ;				19.	− 3 + 3i ;																	−				+ i ;
8.	4 − 3i ;				19.	− 3 + 3i ;																30.	−			3	+ i ;
9.	3 − 4 i ;				20.	2 − 2 i ;																31.		2 + 2i				;
9.	3 − 4 i ;				20.	2 − 2 i ;																31.		1 − i				;
																								1 − i
											π										π		1 − 3 + i
10. 3i ;					21.	cos											+ i sin				;	32.								.
10. 3i ;					21.	cos											+ i sin				;	32.								.
											3										3				3 −			1
11. 1 + i ;					22.	−		1				−					3	i ;
11. 1 + i ;					22.	−						−						i ;

2 2

Задание №2

Вычислить и изобразить результат на комплексной плоскости

					6							1				4										17
					6											4										17

	1 − 2 i							( 2 + i)							− i				2					2
	1 − 2 i						12.									;			2					2

1.						;											23.				− i					;

																			2
	2 + i										2								2		2
	3i − 2 10							1 − i 20														18
	3i − 2 10							1 − i 20														18
2.						;	13.				;						24.	(3 + i			3)			;
2.						;	13.				;						24.	(3 + i			3)			;
	2 + 3i							1 + i
				15									10										12
		2	− i	15				−	1	− i		3	10						2	3 + i			12
		2	− i			;	14.		1			3		;											;


3.																	25.
		3 + i						2			2								3		+ i

4. [(3 − i)(1 + i 3)]8 ;

					− 2 14
5.						;
5.						;
			1 + i
6.		1			(7i − 5)10 ;
6.	2				(7i − 5)10 ;
	2
7.				(3 + 4 i)(1 − 2i) 4					;
7.									;
						i
			1 − i				3
						3	3
8.						3		;

			1 + i
			1 + i			3
9.
(sin 300 + i sin 600 )3									;
10.			− 2 − 2 i					10
10.								;
			1 + 2i

11. (1 + i)8 ;

					6
		2		2

15.	−		+ i			;

		2	2

2 + i 4 16. ;

2 − i

1 − i 6

17.;1 + i

18.[(1 + i3)(1 − i)]15 ;

	− 2 − 5 i	20
19.		;
	1 + i

20.(− 1 + i 3)30 ;

21.(2 + i5)15 ;

			15
	3	− i
22.				;


	3 + i

		3 − i				9
26.						;
26.						;
		2 + i
		2 − i 40
27.								;
27.								;
		1 + 2i
28.			π					π 4
28.	cos					+ i sin				;
		4						4
						π		4
	i + tg					3
29.						3		;
29.						π
	i − tg					3
						3
				π			+ i sin		π	18
30.	cos									;
30.	cos									;
		12						12
		1 + i 5
31.						;
31.						;
		1 − i
		2 + i 4
32.					.
32.					.
		1 − 2i

Задание №3

Найти все значения корня и изобразить их на комплексной плоскости

			i
			i				2 − 2										5 (1 − i)2i;
1.	3			;	12.	3					3 i;					23.
1.	3			;	12.	3					3 i;					23.
		1 − 2 i

												π		π
																			i
		(1 − i)(2 + 3i);																	i
2.	3				13.	5		2 cos					+ i sin		;	24.	3				;
2.	3				13.	5		2 cos					+ i sin		;	24.	3				;
											6		6				1	− 2 i

																			1					i;
																25. 3 −				+			3
3. 4										+ i 2
		− 1;			14. 4 3				2				2 ;
		− 1;			14. 4 3				2				2 ;									2
																		2				2

4.6− 8 − 8i;

5.81;

1 − i 6. 4 1 + i ;

7. 2 + 2i;

8. 3 cos π + i sin π ;

4 4

9. − 8 + 83 i;

10. 1 + (2 − 3)i;

11. − 4 − 3i ;

1 + i

					3i

16.	3									;				27.	3	i(		3 + i);
				+ 2

	2							3 i

		−		5			+		1			i;			3
17.																1 +
														28.						3i;

				2					2
				2					2
	4										;				4
		(1 + i)(1							− i)
18.		(1 + i)(1							− i)					29.		− 2 + 2i;

			i − 3
19.						;									4			+ i;
														30.			3
														30.			3
	2			+ i

		−		5			+		5			i;									;
20.				5					5					31.	4	i(3 − i)
															4
				2					2
				2					2

																1 + i

				3 +
21.								3i;						32.	3				.
21.								3i;						32.	3				.
																1 − i
	3												;
22.	3	(1 − i)(1 + 2i)											;

Задание №4

Вычислить геометрический смысл соотношений

z − z1

z − z 2

;

17.

Re (1 + z) =

;

z − 2

−

z + 2

> 3;

z 2 +

= 1;

18.

z 2

z − 2

z + 2

= 5;

Re (z 2 +

)= 0;

19.

z 2

Re z + Im z < 1;

z − 2

;

20.

1 − 2z

Re z = Im z;

21.

2 zz

+ (2 + i)z + (2 − i)z = 2;

0 ≤ Im z ≤ 1;

22.

0 < Re(i z) < 1;

z − 1

≤ 1;

α < arg(z − z0 ) < β,

23.

z + 1

− π < α < π

8.1 £ z + 2 + i £ 2;

9.z -1 < z - i ;

10.z - Re z £ 0;

	1		1
11. Re		=		;
			9
z

12. Im 1 < - 1 ;

13.4 £ z -1 + z +1 £ 8;

14.Im z 2 < 1;

15.z > 2 + Im z;

16.z - a < 1 - az ; a ¹ 0; a Î R;

24.z = Re z +1;

25.Re z ³ C, C Î R ;

26.0 < Re(i z) < 1;

			1			1
27.	Im				=		;
						2
			z
		z	< arg z,

28.			£ arg z			< 2p

	0
		z	< arg z,

29.			< arg z			< 2p

	0
	arg			z - z1			= a,

				z - z
30.						2

	- p < a < p

31. 0 < Re[i(z + 2)] < 1;

32. 0 < Im[i(z + 2)] < 1.

Задание №5

Проверить, являются ли аналитическими функции

w = ez ;

17.

w =

× Im z;

w =

w = z 2

18.

w = z Re z;

19.

w = z ez ;

w = sin z;

w =

20.

w = cos z;

21.

w = ez2

;

w = z 2 ;

w =

× Re

22.

w = z;

23.

w = sin 3z − i;

8. w = zez + (1 + i)z;

w =

Re z;

24.

9. w =

;

w = z

25.

10.

w = 2 sh z - z 2 ;

26.

w = z 2 + 3i z;

11.

w = 2 cos 2z + z;

27.

w = 2 sin z − z;

12.

w = 2 i(cos z -1) - i z 2 + 2;

28.

w = 2 i(cos z − 1);

w =

w = (

+1)(

-1);

13.

;

z 2

29.

14.

w = ln z;

w = z 2 + 2

+ i;

30.

15.

w = ch z;

31.

sh z;

w =

Im z;

w = ch z.

16.

32.

Задание №6

Найти аналитическую функцию w = u + i v , если известно, что

u = x 3 - 3 x y2 ;

17.

v = 2 cos x × ch y - x 2 + y2

w(0) = 2,

u =

;

18.

u = 2 ex cos y,

w(0) = 2;

x 2

+ y2

u = x 2 - y2 + 2x;

19.

v = 3x + 2xy,

w(− i) = 2;

u =

- 2y;

20.

u = e x (x cos y - y sin y);

x2 + y2

u = 2 e x sin y;

21.

v = e x (y cos y + x sin y);

6. v = -

;

22.

u = x 2 - y2 - x;

(x +1)2 + y2

v = 2 x y + 3 x;

23.

v = x + y;

8. v = arctg y , x > 0;

			x
9. u =			x	, w(p) =	1	;
9. u =	x	2	+ y2	, w(p) =	p	;
	x	2	+ y2		p

10.v = ex (y cos y + x sin y) + x + y;

11.v = arctg y , x > 0, w(1) = 0;

12.u = x 2 - y2 + 2x, w(i) = 2 i -1;

13.v = 2(ch x × sin y - x y), w(0) = 0;

14.u = 2 sin x × ch y - x, w(0) = 0;

15.

v = 2(2 sh x × sin y + x y), w(0) = 3;

16. v = -2 sin 2x × sh 2y + y, w(0) = 2;

24.u = 2x cos(y ln 2);

25.v = sin x × sh y;

26.u = ex cos y;

27.v = ex sin y;

28.	u = x 2 - y2 - x, w(0) = 1;
29.	v = e y (y cos x - x sin x);
		y
30.	v = -		, x ¹ 0, y ¹ 0;
		x 2 + y2

31.u = x 2 - y2 + 2x;

32.v = 3x + 2xy, w(-1) = 2.

Задание №7

Найти контурные интегралы

1.	∫ f (z)dz, где f (z) = (y +1) - x i
	AB
AB − отрезок прямой, соединяющий точки zA = 1; zB = -i .
2.	∫ f (z)dz, где f (z) = x 2 + i y2
	AB
AB − отрезок, соединяющий точки A(1 + i), B(2 + 3i).
		)dz, по линиям, соединяющим точки z1 = 0; z 2 = 1 + i .
3.	∫ (1 + i - 2z

а) по прямой; б) по параболе y = x 2 ;

в) по ломаной; z1 , z 2 , z3 , где z3 = 1.

= 1

∫

(z 2 + z z)dz , где L − дуга окружности

0 ≤ ϕ ≤ π.

∫ ez dz , где L − отрезок прямой y = −x , соединяющий точки

z1 = 0, z 2 = π − i π .

∫ z Im z 2 dz , где L :

= 1; − π ≤ arg z ≤ 0.

∫ e

Re z dz , где L − прямая, соединяющая точки

z1 = 0, z 2 = 1 + i .

∫ ln z dz (ln z − главное значение логарифма), где L :

= 1

а) начальная точка пути интегрирования z0 = 1, б) z0 = −1.

Обход против часовой стрелки.

∫ z Re z dz , где L :

= 1. Обход против часовой стрелки.

∫ z

dz , где L :

= 1. Обход против часовой стрелки.

10.

11.

∫ z ez dz по отрезку AB, соединяющему точки z A = 1, z B = i .

12.	∫ Re z dz , где L : а) z = (2 + i)t, 0 ≤ t ≤ 1;
	L
б) ломаная, состоящая из отрезка [0;2] действительной оси и отрезка, со-
единяющего точки z1 = 2; z 2		= 2 + i .
13.	∫ ez dz , где L : а) дуга параболы y = x 2 , соединяющая точки z1 = 0;
	L
z 2 = 1 + i .
б) отрезок прямой, соединяющий те же точки.
14.	∫ cos z dz , где L -	отрезок прямой, соединяющий точки z1	= π ;
	L		2

z 2 = π + i .

15.

∫

, где L - верхняя половина окружности

= 1; выбирается та

ветвь

, для которой

= -1.

16.

∫

, где L - верхняя половина окружности

= 1 выбирается та

= 1.

ветвь функции

z , для которой

(1 - i).

∫

где L :

= 1,

Re z ³ 0;

17.

- i

18.

∫

, где L - верхняя половина окружности

= 1; берется та ветвь

4 z3

функции 4 z3 , для которой 4

= 1.

19.

∫

(z3 - z)e 2 dz ;

20. ∫ z cos z dz ;

1+i

−z dz ;

21.

∫ z sin z dz ;

22. ∫ (z - i)e

ln (z +1)

23.

∫

dz по дуге окружности

= 1,

Im z ³ 0, Re z ³ 0 с уче-

z +1

том условий arg z = arctg y x = ϕ .

24.

∫

ln z

dz по отрезку прямой, соединяющей точки z1 = 1, z 2 = i .

i 1 + tg z

25.∫ dz по прямой, соединяющей точки z1 = 1 и z 2 = i .

1cos2 z

icos z

26.∫ sin z dz по прямой, соединяющей точки z1 = −1 и z 2 = i .−1


	Выбираем ту ветвь функции w =							, для которой
							sin z
				= i
		sin(-1)				sin1
27. ∫	Re (sin z)cos z dz , где L :		Im z		£ 1; Re z = π ;

L					4

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2316 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.09.2019397.82 Кб25Taxatsia_lesa.doc
#
03.06.20151.49 Mб7telsprav.pdf
#
26.04.2019243.71 Кб4teoria_kultury.doc
#
03.06.201571.17 Кб12Testy_kabinet.doc
#
03.06.2015330.75 Кб50topref.ru-17132.doc
#
27.03.20163.4 Mб43UMK11.pdf
#
16.11.2019344.02 Кб29Untitled0.doc
#
03.06.2015538.18 Кб5Urok_4_Zaprosy_KU.pdf
#
30.08.2019519.68 Кб31vmest.doc
#
03.06.201552.63 Кб8Vodnye_resursy_Sverdlovskoy_oblasti_Lektsia_1.docx
#
03.06.2015167.94 Кб16VOPROSY_K_EKZAMENU_PO_EP.doc