Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Государственный Лесотехнический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

UMK11

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2016

Размер:

3.4 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2315 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

УЧЕБНО - МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

РАЗДЕЛ 11 «ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ»

3. Материалы для самостоятельной работы студентов

3.1.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Существуют ли такие точки z C , что cos z > 1?

2.Верно ли, что функция W = sin z неограничена на C ?

3.Может ли функция быть дифференцируемой в точке z 0 и не быть аналитической в этой точке?

4.Может ли функция быть аналитической только в одной точке?

5.	Верно ли, что функция f (z) аналитическая в области D , если Re f (z) и
	Im f (z) - функции, гармонические в этой области?
6.	Может ли разложение некоторой функции в ряд Лорана содержать:

а) конечное число слагаемых с отрицательными степенями (z − z0 );

б) конечное число слагаемых с положительными степенями (z − z0 );

в) бесконечное число слагаемых с отрицательными степенями (z − zi );

г) бесконечное число слагаемых с положительными степенями (z − zi )?

7.	Пусть Cn (n = 0, ± 1, ± 2,...) -		коэффициенты				разложения в ряд Лорана
	функции		∞
		f (z) =	∞	(z − z		0 )n .
		f (z) =	∑ Cn	(z − z		0 )n .
			n =−∞
	Найти коэффициенты C*n разложения в ряд Лорана функции:
а) (z − z 0 )f (z);		б) (z − z 0 )3 f (z);				1	f (z).
а) (z − z 0 )f (z);		б) (z − z 0 )3 f (z);			z	− z 0	f (z).
	Пусть res f (z) = 0 . Верно ли, что				z	− z 0
8.	Пусть res f (z) = 0 . Верно ли, что
	z=z0

∫ f (z)dz = 0

z−z0 =R

для любого R > 0 ?

3.1.1.ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

2.Комплексные числа и их геометрические и их геометрическое представление.

3.Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа. Модуль и аргумент. Формула Эйлера.

4.Действия над комплексными числами (сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня).

5.Множества точек на комплексной плоскости (области и их границы; окрестности; порядок связности области).

6.Определение функции комплексного переменного и его геометрическое истолкование.

7.Предел и непрерывность функции.

8.Основные элементарные функции комплексного переменного (показательная, логарифмическая, тригонометрическая, гиперболические и обратные тригонометрические функции).

9.Производная и дифференциал.

10.Условия дифференцируемости функции. Условия Коши – Римана. (Даламбера – Эйлера).

11.Аналитичность функции в точке и области.

12.Гармонические функции. Связь аналитических функций с гармоническими.

13.Интеграл от функции комплексного переменного. Определение, свойства, вычисление.

14.Интегральные теоремы Коши (для односвязной и многосвязной области).

15.Первообразная. Формула Ньютона – Лейбница.

16.Интегральная формула Коши.

17.Интегральная формула для производных аналитических функций.

18.Числовые комплексные ряды. Условия сходимости.

19.Понятие комплексного функционального ряда. Степенные ряды. Теорема Абеля.

20.Ряды Тейлора и Лорана (главная и правильная части ряда Лорана).

21.Изолированные особые точки (устранимая, существенно особая, полюс).

22.Нули аналитической функции. Связь между нулем и полюсом.

23.Вычет функции в конечной и изолированной особой точке и его вычисления.

24.Основная теорема о вычетах.

25.Применение теории вычетов к вычислению контурных интегралов.

26.Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов.

3.2. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

3.2.1.Выполнить основные четыре действия алгебры над комплексными числами z1 = −1 + 2i и z2 = −3 − 4i .

3.2.2.Найти действительные решения уравнения

(3x − i)(2 + i) + (x − iy)(1 + 2i) = 5 + 6i

3.2.3.Найти середину отрезка, соединяющего точки z1 и z2 .

3.2.4.Три последовательные вершины параллелограмма находятся в точках z1 , z2 , z3 . Найти четвертую вершину.

3.2.5.Показать, что z + z = 2 Re z, z − z = 2i Im z.

3.2.6. Изобразить на комплексной плоскости числа z = 3 + 2i ,

z= 3 − 2i . Найти их модули и аргументы.

3.2.7.Изобразить на комплексной плоскости числа

a) 3 + i

б) 3 − i

в) − 3 + i

и вычислить их модули и

г) − 3 − i

д) i

е) − i

главные значения аргумента.

3.2.8. Представить в показательной форме числа

z1 = 2i, z2 = −5, z3 = 2 + 2i, z4 = −1 −

i .

3.2.9. Найти

модуль

аргумент числа

ei α − ei β

, если

α > β, α − β ≤ 2π .

1 − i

3.2.10. Вычислить

1 + i

3.2.11. Решить уравнение

z5 + 1 − i = 0.

3.2.12 Определить и изобразить линии, точки которых удовлетворяют

уравнениям.

z − 3 + i

= 1

z − 3i

−

z + 3i

= 2

z = cos2t + i(sin 2t − 2),

0 < t ≤ 2π

4) z = t + i

, 1 ≤ t < ∞

5) Re

2 = 1

6) Re(1 + z) =

7) 2 z z + (2 + i)z + (2 − i)z = 2

3.2.13. Найти множества точек комплексной плоскости, которые определяются неравенствами.

1) Re z < 3

2) − π < arg z < π

− Re z ≤ 0

z − 1

≤ 1

z + 1

5) 1 ≤

z − 1 + i

≤ 2

< Re

+ Im

3.2.14. Найти значение функции в указанной точке, записав число в

алгебраической форме:

1) f(z) = cos z, z0

= 5 − i

2) f(z) = eez

z0 = i

3) f(z) = Ln z, z0 = −3 + 4 i

4) f(z) = z1+ i , z =

1 +

3.2.15. Найти значения степеней:

б) (− 1)

;

в) i i+1

а) 2i ;

3.2.16. Решить уравнение

sin 3z = 3i .

3.2.17. Доказать тождество: ch 2 z − sh 2 z = 1, sinz = i sh i z ,

cosz = cosx chy − i sinx shy .

3.2.18. При отображении

w = z3

найти:

а) образ линии

l z :arg z = π ;

б) образ области

Dz :

≤ 2, 0 ≤ arg z ≤ π .

w = sin z

3.2.19. При отображении

найти:

а) образы прямых, параллельных действительных оси;

б) образ прямоугольника: − π < x < π ,

0 < y < π .

3.2.20. Найти область G w , в которую преобразуется область Dz :

2 < z < 3, Im z > 0, Re z > 0 при помощи функции f (z) = z + 1 . z

3.2.21. Выяснить, дифференцируемы ли следующие функции. В случае дифференцируемости найти производную: а) z z ; б) sin 3z + 2 i ; в) z2 + z ;

г) ez .

3.2.22.Выяснить, какие из следующих функций являются

аналитическими хотя бы в одной точке, а какие - нет: а) w = z 2 ; б) w = ch z ;

в) w = ez .

3.2.23. Показать,

∂u = 1

имеют вид

∂r r

что условия Коши-Римана в полярных координатах

∂v	,	∂u	= −r	∂v	и проверить выполнение этих
∂ϕ		∂ϕ		∂r

условий для функций: а) w = z3 ,

б)

w = ln z.

Являются ли эти функции

аналитическими и где ?

0 <

< ∞

3.2.24. Найти аналитическую

функцию в

области

по

действительной или мнимой части:

а)

u = x 3 − 3xy 2 ; б)

u =

; в)

x 2

+ y 2

v= 3e2 x cos 2y .

3.2.25.Найти коэффициент подобия k и угол поворота ϕ при

отображении с помощью функции w = z3 − 3z2 + 3z + 5 в точках: а) z = 0 ;

б) z = i .

3.2.26. Найти коэффициент подобия и угол поворота при отображении в

данной точке z0 = i : а) w =

; б)

w =

z − 1

z + 1

3.2.27. Выяснить, какая часть комплексной плоскости растягивается, а

какая - сжимается при отображении с помощью функции w = z2 .

3.2.28. Является ли конформным отображение: а) w =

;

б) w = 2

+ 1;

в) w = z Re z .

3.2.29. Вычислить интеграл ∫ Im z dz , если

= 3 до z0

= −3,

а) L − отрезок действительной оси от точки z0

б) L − полуокружность

= 3,

0 ≤ arg z ≤ π .

3.2.30. Вычислить ∫

dz , если

= 1 и z2

= i ,

а) L − отрезок прямой, соединяющий точки z1

б) L − дуга окружности

= 1 от точки z1 = 1 до точки z2 = i ,

в) L − замкнутый контур:

= 1, 0 < argz ≤ 2π.

3.2.31. Вычислить интеграл

∫ z sin z dz .

3.2.32. Вычислить ∫

, если

+ 9

L z

а) точки ± 3i вне контура L,

б) точка z1

= 3i лежит внутри, а z1 = −3i - вне контура L,

в) точка z2

= −3i лежит внутри, а z1 = −3i - вне контура,

г) точки z1, 2 = ±3i лежат внутри контура L.

3.2.33. Вычислить интеграл

∫L

, где L − окружность с центром в

z − a

точке a и радиусом R.

2z − 1 − i

3.2.34. Вычислить

∫

dz .

(z −

1)(z − i)

3.2.35. Вычислить:

∫

sin z dz

;

=3 z

+4z

=3 z

− 7z

+ 10

∫

ez dz

;

∫

sin π z

dz ;

(z + i)

z−1

−1)

(z + 1)dz

5) ∫ . z =2 z(z − 1)2 (z − 3)

∞

e2 i n

∞

2 − i n

3.2.36. Исследовать на сходимость ряды 1)

∑

;

2) ∑

;

n=1 n n

n=1

∞

n sin i n

∑

n=1

3.2.37. Найти область сходимости рядов

∞

(z + i)

1) ∑

;

∞

2) ∑

n=1

ln i n

∞

i n π

∞

(z + 1 − i)

;

∞

n +

∞

+ 1 − i)

3) ∑

+ ∑

4) ∑

∑ n(z

n=1

(z + 1 − i)

(z + 1 − i)n

n=0

3.2.38. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки

радиус сходимости: 1)			f(z) = sin 2z, z0			= π ;
		1				4
2) f(z) =				, z	0 = 1; 3) f(z) = ln(z2 + 6z + 12), z
							0
	z2	− z
			+ 1

3.2.39. Разложить функцию в ряд Лорана в указанной области:

z0 и найти

= −3.

1) f(z) =

2z + 3

, 1 <

< 2 ;

2) f(z) = (z − 1) , 0 <

< 1;

+ 3z + 2

3) f(z) =

e2 z − 1

0 <

< 1;

4) f(z) = (z − i)3 sin

, 0 <

z − i

< ∞ ;

z − i

3.2.40. Найти нули функции и определить их порядки:

1) f(z) = (z2 + 9)(z2 + 4)5	; 2) f(z) = (1 − ez )(z2 − 4)3	; 3) f(z) =	z − sin z	.

			z

3.2.41. Найти изолированные особые точки функции и определить их характер:

1) f(z) =	z + 2			1
			;	2) f(z) = z e			;
					z−1
	(z − 1)3 z(z + 1)
3) f(z) =	sin z			1			1
		;		4) f(z) = sin			+		.
	(z2 − 1)(z + π)					z		z2

3.2.42. Выяснить характер особой точки z = ∞ для функций

+ 1

1) f(z) = e

+ z2 − 4 ;

2) f(z) =

;

3z2

+ 1

3) f(z) =

2 z5 − z + 1

4) f(z) =

cos z

z2 + z + 8 ;

3.2.43. Найти вычеты функций относительно их особых точек

1) f(z) =	z + 2			1
			;	2) f(z) = z e			;
					z−1
	(z − 1) z(z + 1)	2

	sin z			1			1
3) f(z) =		;		4) f(z) = sin			+		.
	(z2 − 1)(z + π)					z		z2

3.2.44. Найти вычеты функций относительно точки z = ∞ :

2 z

+ 1

1) f(z) = e

+ z2 − 4 ;

2) f(z)

;

3z2

+ 1

3) f(z) =

2 z5 − z + 1

4) f(z) =

cos z

z2 + z + 8 ;

3.2.45. Вычислить контурные интегралы:

∫

e2 z dz

;

2) ∫

z2 sin

dz;

π i

−

∫

z−1

dz;

4) ∫

z dz

, где L − прямоугольник с вершинами в точках z1 = −i,

L cosz

z2 = 2 − i, z3 = 2 + i, z4 = i .

ОТВЕТЫ

3.2.1. z1 + z2

= −4 − 2 i ,

z − z

= 2 + 6i

;

= −

−

3.2.2. x =

, y = −

3.2.3. z =

z1 + z2

3.2.4. z4

= z3 − z2

+ z1

arg z = arctg

3.2.6.

arg

= −arctg

Arg z = arctg

+ 2kπ

1) 2

3, π ;

2) 2

3, − π ;

3) 2

5π

;

4) 2

5π

;

3.2.7.

3, −

3, π ;

3, − π 2

i −π+

3.2.8. z1 = 2e 2 , z2

5ei π ,

2 2 e 4 , z4

2 e

3.2.9. r = 2 sin α − β ,

ϕ = π + α + β

3.2.10. 1

3π

2Rπ

3.2.11. zk = 10 2 e 2

, k = 0,4

3.2.12. 1) окружность r = 1 с центром в z0 = 3 − i ,

гипербола с фокусами в точках z1

= 3i и z2 = −3i и параметром a = 1,

окружность радиуса r = 1 с центром в точке z0 = −2 i ,

часть ветви гиперболы y =

, где 1 ≤ x < ∞ ,

гипербола x2 − y2

= 1,

парабола y2

= 2x + 1,

(x + 1)

окружность

−

3.2.13. 1)левая полуплоскость от прямой x = 3,

угол между лучами ϕ = − π и ϕ = π ,

3)действительная полуось, включая точку O(0;0),

4)правая полуось, включая и мнимую ось,

5) кольцо, образованное окружностями с центром в M 0 (1;1) и радиусов

r1 = 1 и r2 =		,
	2
6) область, заключенная между окружностями.
3.2.14. 1) ch1cos5 + i sh1sin 5;					2) ecos1 [cos(sin1) + i sin(sin1)];
3) ln 5 + i (2k + 1)π − arctg				;				π
			4				2
					4)			e− 4 −2 kπ (1 + i), k Z

						2
			3

					1
				2 k −		π
3.2.15. а) e2kπ (cos ln 2 + i sin ln 2);			б) e 2 (2 k +1)π i	; в) i e	2	, k Z ;
3.2.16. z(k1) = −2kπ + i ln(		+ 3),	z(k1) = −(2k + 1)π − i ln(				+ 3),
3.2.16. z(k1) = −2kπ + i ln(	10	+ 3),	z(k1) = −(2k + 1)π − i ln(			10	+ 3),

k Z

3.2.18. а) луч Lw :arg w = π ; 0 ≤ w ≤ 8; 0 < arg w ≤ π ;

б) G w − полукруг;

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2315 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.09.2019397.82 Кб25Taxatsia_lesa.doc
#
03.06.20151.49 Mб7telsprav.pdf
#
26.04.2019243.71 Кб4teoria_kultury.doc
#
03.06.201571.17 Кб12Testy_kabinet.doc
#
03.06.2015330.75 Кб50topref.ru-17132.doc
#
27.03.20163.4 Mб43UMK11.pdf
#
16.11.2019344.02 Кб29Untitled0.doc
#
03.06.2015538.18 Кб5Urok_4_Zaprosy_KU.pdf
#
30.08.2019519.68 Кб31vmest.doc
#
03.06.201552.63 Кб8Vodnye_resursy_Sverdlovskoy_oblasti_Lektsia_1.docx
#
03.06.2015167.94 Кб16VOPROSY_K_EKZAMENU_PO_EP.doc