Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Государственный Лесотехнический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

UMK11

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2016

Размер:

3.4 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2317 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

28.	∫ z Im(z 2 )dz где L :			Im z	≤ 1; Re z = 1;
28.	∫ z Im(z 2 )dz где L :			Im z	≤ 1; Re z = 1;
	L
	i	2
29.	∫ z ez	2	dz ;
	−1
30.	∫ tg z dz , где L − дуга параболы y = x 2 , соединяющей точки z1 = 0
	L
и z 2 = 1 + i .
31.	∫ cos z dz , где L − отрезок прямой, соединяющей точки					z1	= π ;
	L						4

z 2 = π + i .

32. ∫ e z dz , где L − дуга параболы y = x 2 , соединяющей точки

z1 = 1 + i ; z 2 = −1 + i .

Задание №8

Используя основную теорему Коши и интегральную формулу Коши, вы-

числить интегралы

∫

а)

= 2

dz , где Г :

;

Г z − 3

б)

= 4

∫

cos z

dz;

=2 z

2 +

2z − 3

∫

sin z

dz , где Г :x 2 + y2 + 6y = 0 ;

Г z 2 + 4

∫

z − 2 sin z

dz ;

z−1

(z − π 2)3

∫

ez dz

, где Г − произвольный замкнутый контур, однократно об-

Г (z + 2)4

ходящий точку z = −2 в положительном направлении;

∫

2 z − 1 − i

dz , где Г :

= 2 ;

(z − 1)(z − i)

∫

, если а) точка 3i лежит внутри Г,

(− 3i) − вне его;

+ 9

Г z

б) точка (− 3i) − внутри Г; 3i − вне его;

в) ± 3i внутри Г;

г)

± 3i − вне Г.

∫

(z + 1)dz

;

=3 z3 +

=2 z(z − 1)2 (z − 3)

ez dz

∫

e 2 dz

10.

;

11.

;

(z + i)3

z−1

2 + 2

∫

ez cos πz

12.

dz;

z 2 + 2z

14.

∫

sin p(z -1)

dz;

z−1−i

=1 z 2 − 2z + 2

16.

∫

cos(z + pi)

dz;

z(ez + 2)

18.

∫=4

(z 2 + 9)(z + 9)

;

20.

∫

sin z × sin(z -1)

dz;

z 2 − z

22.

∫

sh 2 z

dz;

∫

z sh z

24.

dz;

(z 2 − 1)2


13.			∫				ch z			dz;

	z−2			=2 z 4 − 1

15.	∫					tg z		dz;

	z		=1		z e1 z+2

		∫					dz
17.									;

	z		=5			z 2 + 16

19.∫ sh (z +1)dz , Г z 2 + 1

где Г: x 3 + y 3 = 33 ;

cos z

21. ∫ dz;

z =1 z3

					sin π z
23.	∫			4		dz;
23.	∫			(z − 1)2 (z − 3)		dz;
	z−1	=1
	z−1	=1
25.	∫				z dz		;


	z−3		=6		(z − 2)3 (z + 4)
	z−3		=6		(z − 2)3 (z + 4)

∫

ch ei π z

26.

dz;

z−2

− 4z 2

∫

e z

28.

dz;

(z 2

+ 4)2

z−2

30.

∫

cos z

dz; а)

= 1;

Г z(z − 2)

б) z − 2 = 1; в) z − 2i = 1;

32. ∫			ez dz	.

	z	=1	z 2 + 4

27.

∫

cos

dz;

z + 1

1 − sin z

29.

∫

dz;

z 2

(z + 1)dz

∫

31.

;

(z − 1)2 (z − 3)

Задание № 9

Выяснить характер особых точек функций

1.	1	;
	z3 (z 2 + 4)2

2.sin z ; z 2

3.sin 1 ; z 2

	1
	z 2 e			;
4.	z 2 e		z	;
5.	1					;

		z 2 +		5z +	4
		z 2 +		5z +	4
6.				cos z			;

				π	2	2
		z +		(z		+ 1)
				2
7.		tg 2 2z;

sh z

17.

;

18.

cos

;

z + π

z 2 − 1

19.

;

z6 + 2z5 + z 4

ez+e

20.

;

z + e

21.

cos

+ sin

2 − π z

;

22.

z sh

;

23.

;

(z + 1)3 (z − 2)

;

cos z -

9. z 2 sin

;

10.

(z -1)cos

;

(z -1)2

11.

;

1 - cos z

12.

1 + cos z

;

z 2

ez -1

13.

;

14.

cos 2z

;

p 2

(z - p) z -

15.

1 + cos z

;

z - p

16.

z 2 - 3z + 2

;

z 2 - 2z

24.

sin z 2

;

z3 - p z 2

25.

1 − cos z

;

z 2 (z - 3)

26.

cos z

;

z3 - p z 2

z2 ;

27.

28.

z − sin z

;

sh z

29.

;

z - sh z

z × e

30.

;

sin

-1

31.

;

z 2

32.

z e z .

Задание № 10

Вычислить вычеты функции относительно ее особых точек

;

17.

;

z3 (z 2 + 4)2

z3 (z -1)

;

18.

sin z

(z +1)3 (z - 2)2

19.

z 2 sin

;

z 2 e

;

;

sin z +

2z − 5

;

z 2 − 2z + 1

cos 2z

;

−

(z − π) z

z e

;

z−1

sin

;

z 2

sin z

;

z3 − π z 2

10. (z + 1)3 (z − 2);

11.	1				;
11.		z 4 + 1			;
	1
	z3 e			;
12.	z3 e		z	;
13.		tg z				;

		z 2 − π z
		z 2 − π z
	4
14.	z5 sin				1		;
14.	z5 sin				z 2		;
					z 2
			ch z
15.		(z 2 + 1)(z − 3)						;

20.

cos

+ z3 ;

21.

sin 2z

;

i 2

(z + i) z −

1 − cos z

22.

;

z3 (z − 3)

z2 +

z2 ;

23.

ei z

24.

(z 2 − 1)(z + 3)

;

cos z

25.

;

z3 − π z 2

eπ z

26.

;

z − i

z 2n

27.

;

(z − 1)n

28.

ctg 2 z;

− 1

29.

;

1 − e−z

30.

;

31.

;

z(z − 1)

−

e z

16.

;

32.

1 + z 2 .

1 + z

Задание № 11

Вычислить с помощью вычетов следующие интегралы

∫

;

17.

∫

-1

dz;

z+2i

=3 z3 (z 2 + 4)

z−i

z3 - i z 2

∫

dz;

18.

∫

sin

dz;

sin z

∫

tg z

dz;

z + 2

z+2

∫

z 2 e

dz;

∫

dz;

(z +1)2

α∫

dz;

z 4 +1

(x -1)2

a :

= 1;

∫

; a :

z - pi

= 1;

sh 2z

∫

ch 2z

dz;

z 2 (z

+ 2)(z -1)

z+1

∫ e

dz;

z+1

19.

∫

(z -

2)2 sin

dz;

z - 2

z−2

sin π z

20.

∫

dz;

z 2 - z

21.

∫

z dz

;

z+1

ez + 3

22.

∫

dz;

sin 2 z × cos z

∫

23.

dz;

z−i

z 4 + 2z 2 +1

24.

∫

ei z

dz;

(z - p)3

25.

∫

cos z

dz, где Г :

x 2

= 1;

z 2 - 4

26.

10.

∫

(z − 1)2 sin

dz;

e2z

z−1

z − 1

dz, где Г :x 2 + y2 − 2x = 0;

Г∫

z3 − 1

27.

11.

∫

− 1

dz;

Г∫

sin π z

dz, где Г :

x 2

= 1;

(z − 1)3 (z +

1)3

z 2 + z

12.

∫ tg z dz;

28.

z + 1

Г∫

где Г :x 2 + y2 = 16;

dz,

z 2 + 2z − 3

z sin z

x 2

e z

13.

∫

dz;

29. ∫

dz,

где Г :

= 1;

z−i

z + 1

Г (z − 1)

14.

∫ z tg π z dz;

30. ∫

d z

где Г :x 2

+ y2 = 2x;

z 4 + 1

∫

z dz

;

(z − 1)

+ 2)

15. α

31.

∫

(z −

1)2 sin

dz;

z−1

z − 1

α :x

+ y

= 3

;

16.

∫

ez dz

;

32.

∫

tg z dz.

z3 (z + 1)

Задание № 12

Вычислить несобственные интегралы

∞

x 4

∫

;

17.

dx;

+ 1)2

−∞∫

−∞ (x 2

1 + x 6

∞

x 2

+ 1

∞

x 2

∫

dx;

18.

∫

dx;

+ 1

−∞ x 4

−∞

1 + x 4

∞

> 0;

∫

;

19.

∫

; a, b

+ 1)3

−∞ (x 2

−∞

(a + bx 2 )4

∞

(x 4 + 1)dx

∫

;

20.

∫

x 6 +

;

−∞ x6

+ 1

∞

dx; a > 0;

∞

∫

21.

;

0 (x 2

+ a 2 )2

−∞ (x 2 + 2x + 2)2

∞

∫

;

22.

;

−∞

(x 2 + 4)2

−∞ (x 2 + 4x + 20)2

∞ x 4 + 1

∞

cos x dx

−∫∞

dx;

23.

0∫ (x 2 + 1)(x 2 + 4);

x 6 + 1

∞

cos 2x

∫

;

24.

dx;

−∞

(x 2 + 4x + 13)2

0∫ 1 + x 4

∞

∞ cos 4x

−∫∞ (x 2 + a 2 )(x 2 + b2 ); a, b > 0;

25.

0∫

dx;

4 + x 2

∞

x cos x

∞

cos 2x

10.

−∫∞

dx;

26.

−∫∞ (x 2 + 1)(x 2 + 9)dx;

x 2 − 2x + 10

∞

x sin x

∞ x 2 cos x

11.

dx;

27.

∫

dx;

−∫∞ x

2 − 2x +

(x 2 + 1)2

∞

x sin x

∞

cos x

12.

∫

dx;

28.

∫

dx;

2 − 2x +

−∞ x

0 x 2 + 9

∞

cos ax

∞

13.

∫

dx; a, b > 0;

29.

∫

cos 4x

dx;

0 x 2 + b2

0 x 2 + 4

∞

x sin ax

a, b > 0;

∞

cos x

14.

∫

dx;

30.

∫

dx;

0 x 2 + b2

0 x 2 + 1

∞

∞ x cos x

15.

∫

; n N;

31.

dx;

−∞ (1 + x 2 )n

−∞∫ x 2 + x + 1

∞

∞ x sin x

16.

−∫∞ (x 2 + 1)(x 2 + 4);

32.

0∫

dx.

x 2 + 1

УЧЕБНО - МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

РАЗДЕЛ 11 «ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ»

1. Теоретические основы

1.1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. ОРИГИНАЛ И ИЗОБРАЖЕНИЕ

Основными понятиями операционного исчисления являются понятия

оригинала и изображения. Операционное исчисление находит широкие

приложения в физике, механике, электротехнике, в современной автоматике и телемеханике.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Функция f (t), t R, R − множество

действительных чисел, называется оригиналом, если она удовлетворяет трем условиям совместно:

1) f (t) = 0 при t < 0 ;

2) постоянные σ R и M > 0 , для которых имеет место неравенство

	f (t)	< M eσ t .	(1.1)

3) На отрезке [0, T], T R,			f (t) может иметь не более, чем конечное
число точек разрыва 1-го рода.

В условии 2) (формула (1.1)) величина σ называется показателем роста

функции f (t), если σ есть наименьшее из значений, при котором имеет место

неравенство	(1.1). Другими словами,	если вместо σ взять σ − ε , ε > 0 , то
		f (t)	≥ M e(σ−ε)t при любых достаточно
неравенство	(1.1) будет нарушено:

малых ε > 0 . В дальнейшем предполагается, что σ в (1.1) есть показатель роста f (t).

Преобразование Лапласа определяется по закону:

F (p) =	+∞	−p t f (t)dt, p C ,
F (p) =	∫ e	−p t f (t)dt, p C ,	(1.2)
	0
где C − множество		комплексных чисел. Можно показать, что	F (p) −

аналитическая функция комплексной переменной p в полуплоскости Re p > σ .

Функция F (p) называется	изображением Лапласа. Вместо (1.2)
		( L −изображение).
употребляются символы: F(p)→f	(t); F(p)= f (t); L [f (t)]	( L −изображение).

Стрелка всегда направлена от изображения к оригиналу. Также употребляется стрелка без точек.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2317 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.09.2019397.82 Кб25Taxatsia_lesa.doc
#
03.06.20151.49 Mб7telsprav.pdf
#
26.04.2019243.71 Кб4teoria_kultury.doc
#
03.06.201571.17 Кб12Testy_kabinet.doc
#
03.06.2015330.75 Кб50topref.ru-17132.doc
#
27.03.20163.4 Mб43UMK11.pdf
#
16.11.2019344.02 Кб29Untitled0.doc
#
03.06.2015538.18 Кб5Urok_4_Zaprosy_KU.pdf
#
30.08.2019519.68 Кб31vmest.doc
#
03.06.201552.63 Кб8Vodnye_resursy_Sverdlovskoy_oblasti_Lektsia_1.docx
#
03.06.2015167.94 Кб16VOPROSY_K_EKZAMENU_PO_EP.doc