1. При установившейся фильтрации капельной жидкости можно считать ее плотность независящей от давления, т.Е. Рассматривать жидкость как несжимаемую. Тогда,

ρ=const. (4)

2. Соотношение между плотностью к давлению для сжимаемой жидкости может быть получено, исходя из уравнения, определяющего коэффициент сжимаемости жидкости βж:

βж= -(5)

где, Vж– начальный объем жидкости.

Если массу рассматриваемого объема жидкости обозначим через М,

то Vж=М/ρ и=и уравнение (5) принимает вид : βж=откуда после интегрирования получим:

(6)

Природные газы можно считать идеальными, если пластовые давления газовых месторождений невелики (до 6-9 МПа) и депрессия до1 МПа.

Уравнением состояния идеального газа является уравнение Клайперона-Менделеева

P/ρ=RT

где, R– газовая постоянная.

Если , а- плотность газа при атмосферном давлении, то уравнение состояния идеального газа принимает вид:

(7)

Для газовых месторождений с высоким пластовым давлениями (до 40-60 МПа), эксплуатирующихся с большими депрессиями (15-30 МПа), используется уравнение состояния реального газа:

(8)

где z– коэффициент сверхсжимаемости газа.

4. Вследствие малой деформации твердой фазы считают обычно, что изменение пористости зависит от изменения давления линейно. Вводя коэффициент объемной упругости пласта , закон сжимаемости породы записывают в виде:

(9)

где – изменение объема пор в элементе пласта, имеющим объем V, при изменении давления наdp. Закон сжимаемости (9) можно записать в виде:

dm=

или m= m+β_с (10)

При малых изменениях давления, зависимость проницаемости от давления можно принять линейной

,

а при больших – экспоненциальной

k = ke(11)

где, – коэффициент, определяемый экспериментально, зависит от состава породы.

Основная литература:2 [39-49]

Дополнительная литература:4 [44-51]

Контрольные вопросы:

1. Уравнение неразрывности потока.

2. Уравнение движения флюида.

3. Уравнение состояния флюида.

4. Уравнение состояния породы.

5. Коэффициент объемного расширения жидкости.

6. Коэффициент сжимаемости породы.

Лекция № 7. Основные типы начальных и граничных условий

Продуктивный пласт или выделенную из него часть можно рассматривать как некоторую область пространства, ограниченную поверхностями – границами. Границы могут быть непроницаемыми для флюидов, например кровля и подошва пласта, сбросы и поверхности выклинивания. Граничной поверхностью является также поверхность, по которой пласт сообщается с областью питания (с дневной поверхностью, с естественным водоемом), это так называемый контур питания; стенка скважины является внутренней границей пласта.

Чтобы получить решение системы уравнений, к ней необходимо добавить начальные и граничные (краевые) условия.

Начальные условиязаключаются в задании искомой функции во всей области в некоторый момент, принимаемое за начальное. Например, если искомой функцией является пластовое давление, то начальное условие может иметь вид:

P=P (x, y, z) приt=0, (1)

т.е. в начальный момент времени задается распределение давление во всем пласте.

Если в начальный момент пласт невозмущен, то начальное условие примет вид

P=P = const, при t=0, (2)

Граничные (краевые) условиязадаются на границах пласта. Число граничных условий должно быть равно порядку дифференциального уравнения по координатам.

Возможны следующие граничные условия.

1. На внешней границе Г:

-постоянное давление

P(Г,t) = P= const, (3)

т.е. граница является контуром питания;

-постоянный перетек через границу

, (4)

где n– нормаль к границеГ;

-переменный перетек через границу

(t); (5)

-замкнутая внешняя граница

0; (6)

-бесконечный по простиранию пласт

;(7)

На внутренней границе:

-постоянное давление на забое скважины радиуса

P(r=P; (8)

-постоянный дебит. Это условие при выполнении закона Дарси можно представить следующим образом:

Q = (9)

или

rприr=r; (10)

где F=- площадь боковой поверхности скважины,h– толщина пласта;

-переменное давление на забое скважины

P(r приr=r (11)

-переменный дебит

приr=r; (12)

-отключение скважины

0 приr=r; (13)

Основная литература:2 [49-51]

Контрольные вопросы:

1. Что понимается под контуром питания?

2. Начальные условия.

3. Граничные условия.

Лекции № 8, 9. Установившееся движение несжимаемой жидкости по закону Дарси

Дифференциальное уравнение установившейся фильтрации несжимаемой жидкости.

Если жидкость несжимаема, то ее уравнение состояния . Также пористостьm=const. Тогда уравнение неразрывности потока примет вид:

(1)

Подставляя в (1) V, V, V,получим

0

или

(2)

Расчет основных гидродинамических характеристик одномерного прямолинейно-параллельного фильтрационного потока.

Пусть в горизонтальном пласте постоянной толщины hи шириныВна контуре питания поддерживается постоянное давлениеP , а на добывающей галерее, отстоящей на расстоянииLкот контура питания (КП), постоянное давлениеP. Направляем ось координатОХвдоль линии тока, осьOYвдоль КП.

Так как меняется только координата Х, то уравнение (2) принимает вид:

0 (3)

которое, решается при следующих граничных условиях

P=P приx=0;

P=P приx=L(4)

Дважды интегрируя (3) и удовлетворяя условиям (4) получим закон распределения давления в пласте:

P=P - (5)

найдем градиент давления

Тогда скорость фильтрации

=(6)

Дебит галереи определяется выражением

где, F=Bh– площадь поперечного сечения пласта.

с учетом (6) получим, что

(7)

Закон движения частицы жидкости найдем по формуле:

(8)

Разделяя переменные и учитывая (6), получим после интегрирования

(9)

Время полного выбора жидкости из пласта (Т) определяется по (9) приx=L

(10)

Средневзвешенное по объему пластовое давление (Р) найдем по формуле:

(11)

где, V=BhLкm, dV = Bhmdx(12)

(13)

3. Расчет основных гидродинамических характеристик одномерного плоскорадиального фильтрационного потока.

Будем считать, что несжимаемая жидкость притекает к гидродинамически совершенной скважине радиусом r,расположенной в центре однородного горизонтального кругового пласта постоянной толщиныh.На внешней круговой границе пласта радиусомr,служащей контуром питания, поддерживается постоянное давлениеР,на забое скважине давлениеР ,тоже постоянно.

Дифференциальное уравнение в этом случае имеет вид:

0 (14)

Введя замену r=после соответствующих преобразований из (14) получим:

= 0 или = 0(15)

Уравнение (15) будем решать при следующих граничных условиях:

P=P приr = r_к ;

P=P приr = r (16)

Дважды интегрируя (15) и учитывая (16), найдем закон распределения давления

(17)

Скорость фильтрации = (18)

Дебит скважины , где- поверхность, через которую происходит фильтрация с учетом (18) будем иметь

(19)

Формула (19) называется формулой Дюпюи.

Отношение дебита скважины Qк перепаду давления ∆Р называется коэффициентом продуктивности скважины (К). Из (19)

(20)

Закон движения частицы жидкости найдем из формулы

или (21)

Подставив (18) в (21) и производя интегрирование в пределах от 0 доt и отrдоr, получим(22)

Время Т полного отбора жидкости из пласта определяется из (22) подстановкой r = r,т. е.(23)

Средневзвешенное по объему порового пространства пластовое давление определяется из соотношения

(24)

где V=

(25)

Подставляя (17) и (25) в (24) и интегрируя полученное выражение в пределах от rдо r,получим

(26)

В (26) принято, что r<<r, т. е.r0.

4. Расчет основных гидродинамических характеристик радиально-сферического фильтрационного потока.

Будем считать, что несжимаемая жидкость притекает к скважине, вскрывшей кровлю однородного пласта весьма большой толщины. Выделим на достаточно удаленной от забоя скважине полусферическую границу радиусом r, на котором сохраняется постоянное давлениеР . На забое скважины радиуса r, поддерживается постоянное давлениеР .

Дифференциальное уравнение установившейся фильтрации для рассматриваемого потока

=0,(27)

которое после замены r=принимает вид:

0 или=0 (28)

Уравнение (28) решаем при условиях:

P=P приr=r

P=P при r=r(29)

Решая уравнение (28) при условиях (29), найдем

(30)

Далее

(31)

где(32)

(33)

(34)

Основная литература:2 [51-68]

Дополнительная литература:4 [51-65]

Контрольные вопросы:

1. Установившаяся фильтрация.

2. Простейшие фильтрационные потоки.

3. Средневзвешенное по объему пластовое давление.

4. Формула Дюпюи.

5. Индикаторная диаграмма.

6. Закон движения частицы.

7. Коэффициент продуктивности скважины.