Методичка_Пределы (все части)
.pdfМосковский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана
Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическая физика и вычислительная математика»
Дубограй И.В., Дьякова Л.Н., Станцо В.В., Шишкина С.И.
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Электронное учебное издание
Методические указания к выполнению домашних заданий
(Рабочая версия сентября 2012 г.)
Москва
|
Оглавление |
|
|
(гиперссылки не работают) |
|
|
Файл «Пределы 1-2» |
|
Глава 1. Пределпоследовательности..................................................... |
1 |
|
1.1 Понятиечисловойпоследовательности............................................... |
1 |
|
1.2 |
Предел числовой последовательности................................................. |
1 |
1.3 |
Число е................................................................................................... |
5 |
Задачи для самостоятельной работы .................................................... |
6 |
|
Глава 2. Предел функции........................................................................ |
7 |
|
2.1 |
Окрестность точки ................................................................................ |
7 |
2.2 |
Предел функции при xa..................................................................... |
8 |
2.3 |
Предел функции при x∞.................................................................. |
10 |
2.4 |
Бесконечный предел функции............................................................ |
11 |
Задачи для самостоятельной работы .................................................. |
14 |
|
|
Файл "Пределы 3-5" |
|
Глава 3. Вычисление пределов............................................................... |
1 |
|
3.1 |
Некоторые теоремы о пределах и непрерывности функции............... |
1 |
3.2 |
Некоторые формулы и приемы элементарной математики, |
|
используемые при вычислении пределов....................................................... |
1 |
|
3.3 |
Простейшие приемы вычисления пределов ........................................ |
3 |
3.4 |
Правила вычисления пределов, содержащих различные |
|
неопределенности ............................................................................................ |
4 |
|
Задачи для самостоятельной работы .................................................... |
8 |
3.5 |
Первый замечательный предел........................................................ |
9 |
Задачи для самостоятельной работы .................................................. |
11 |
|
3.6 |
Второй замечательный предел....................................................... |
12 |
Задачи для самостоятельной работы .................................................. |
15 |
|
Задачи для самостоятельной работы .................................................. |
17 |
|
Глава 4. Односторонние пределыфункции......................................... |
17 |
|
4.1 |
Односторонние пределы функции при стремлении аргумента к |
|
бесконечно удаленной точке......................................................................... |
17 |
|
4.2 |
Определение односторонних пределов функции при x → a ............. |
19 |
Задачи для самостоятельной работы .................................................... |
22 |
|
Глава 5. Правило Лопиталя-Бернулли.................................................. |
22 |
|
Задачи для самостоятельной работы .................................................. |
26 |
|
|
Файл "Сравнение бесконечно малых" |
|
Глава 6. Сравнениебесконечно малых(бесконечно больших)............... |
|
|
6.1 |
Основные понятия и обозначения........................................................ |
1 |
6.2 |
Эквивалентностьи ее применение к вычислению пределов............. |
2 |
6.3 |
Порядки малости и роста. Главные части............................................ |
6 |
Задачи длясамостоятельной работы ................................................ |
11 |
|
|
Файл "Непрерывность и разрывы" |
|
Глава 7. Непрерывность и разрывы.......................................................... |
|
|
7.1 |
Определения непрерывности и их геометрический смысл................ |
1 |
7.2 |
Классификация точек разрыва.............................................................. |
3 |
Задачи длясамостоятельной работы .................................................. |
5 |
1.ПРЕДЕЛПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
1.1Понятие числовой последовательности.
Числовая последовательность – это функция натурального аргумента
an = f (n), n N.
Ее графиком на плоскости XOY является множество изолированных точек, абсциссы которых есть натуральные числа n = {1,2,3.....}.
То есть, числовая последовательность представляет собой бесконечное множество чисел, связанных общим законом, который задается общим элементом an .
Пример 1. Дана функция an = (3−n1)−n1n натурального аргумента. Вычислим
несколько первых ее значений.
Решение. Зададим конкретное значение аргумента n и подставим его в выражение an .
При n=1 получим a1 = |
(−1)1 |
|
= − |
1 |
, при n=2 |
a2 |
= |
(−1)2 2 = 2 |
, при n=3 |
a3 |
= − |
3 |
|
3 1−1 |
2 |
8 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
3 2 −1 5 |
|
|
|
и т.д.
Например, при n=10 получим a10 = 1029 .
Последовательности, описываемые простыми правилами, удобно задавать перечислением начальных членов.
Пример 2. Задано несколько элементов числовой последовательности:
a1 = − 12 , a2 = 14 , a3 = −16 .
Найдем выражение общего элемента an как функции аргумента n.
Решение. Легко заметить, что при n=1, 2, 3 an = 21n . Чередование знаков: минус, плюс, минус и т.д. – описывается с помощью множителя (−1)n .
Окончательно получаем ответ: an = (−21n)n .
Запомните, что чередование знаков плюс, минус, плюс и т.д. – описывается с помощью множителя (−1)n+1 . Последовательность четных чисел можно записать как 2n, нечетных – как (2n-1), n N .
1.2 Предел числовой последовательности.
Как ведет себя последовательность при росте n? Следующие три примера показывают, что имеется три принципиально различных типа поведения.
Первый из них: an = nn+2 1 . Вычислим несколько первых элементов этой последовательности и проанализируем, как они изменяются с ростом номера n.
1
При n=1 a1 |
= |
1 , при n=2 |
a2 = 4 |
=11 |
, при n=3 a3 = 9 |
= 2 1 , при n=4 |
a4 |
= |
16 |
= 3 |
1 |
||||
|
|
2 |
3 |
3 |
|
|
4 |
4 |
|
|
5 |
|
|
5 |
|
, при n=5 a5 = |
25 |
= 4 1 и т.д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, что чем больше номер n, тем больше значение an . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Нетрудно заметить, что an = (n −1) + |
1 |
|
, и при очень больших n поведение |
an |
|||||||||||
n +1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
похоже на поведение последовательности n-1. Вывод: an → ∞ при n → ∞. (См. рис.1)
Рис.1
Рассмотрим теперь вторую последовательность, где bn = (−1)n . Другими
словами, это: -1, 1, -1, 1, … Последовательность колеблется, оставаясь ограниченной.
Контрольный вопрос. Нарисуйте график последовательности bn . |
|
|
|||||
Последовательности, которые ведут себя, как an |
или |
bn , |
называются |
||||
расходящимися. |
|
|
(−1)n 2 |
|
|||
Наконец, рассмотрим третью |
последовательность, где |
cn = |
. Вычислим |
||||
|
|||||||
несколько первых ее элементов. |
|
|
|
n |
|
|
|
=1 , при n=3 c3 = − 2 , при n=4 |
|
|
1 , при n=5 |
||||
При n=1 c1 = −2 , при n=2 c2 |
c4 |
= |
|||||
|
3 |
|
|
|
|
2 |
c5 = − 52 и т.д.
Очевидно, что чем больше номер n, тем значение cn меньше, и при возрастании n эти значения становятся все ближе к числу 0. (См. рис.2)
2
Рис.2
Последовательность, у которой все элементы с достаточно большими номерами приближенно равны одному и тому же числу, называется сходящейся. Число, к которому приближаются значения элементов последовательности при возрастании номера n, называется пределом этой последовательности.
Следующее определение формализует понятия «приближенно равны» и «достаточно большие номера».
Определение 1. Число А называется пределом числовой последовательности
{an }, то есть A = lim an , если для любого, сколь угодно малого, ε > 0 найдется
n→∞
такой номер N(ε), что для всех n > N(ε) будет выполняться неравенство an − A < ε . В логических символах определение 1 можно записать следующим образом:
def
A = lim an = ε > 0 N(ε): n > N(ε) an − A > ε .
n→∞
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, не имеющая предела – расходящейся.
Рассмотрим графическую иллюстрацию определения 1(См. рис.3).
Рис.3
3
На оси ординат выбрана произвольным образом ε -окрестность точки А.1 На координатной плоскости ей соответствует заштрихованная полоса шириной
2ε .
Точки с ординатами an при возрастании номера n располагаются все ближе к
прямой y = A. И |
для |
любого ε > 0 |
найдется такой |
номер |
N, |
что все |
точки, |
|||
соответствующие |
элементам |
последовательности с |
n > N , |
окажутся |
внут и |
|||||
заштрихованной полосы. Обозначение N |
(ε) подчеркивает, что выбор номера |
|||||||||
N зависит от выбора числа |
. |
|
|
|||||||
Напомним, |
что |
наε |
|
рис.1 |
изображены |
элементы |
расходящейся |
последовательности. Нетрудно убедиться, что в этом случае при любом предположительно выбранном А, и для любых ε и N, найдется бесконечно много точек, оказавшихся вне соответствующей полосы шириной 2ε при n > N .
Пример 3. Найдем число А, являющееся пределом числовой последовательности с общим элементом an = n2+n1 , и пользуясь определением,
убедимся в правильности ответа.
Решение. Вычислим несколько первых элементов данной последовательности.
n =1 a1 =1, n = 2 a2 = 43 =113 , n = 3 a3 = 64 =112 , n = 4 a4 = 85 =153 , n = 5 a5 = 106 =1 23 ,
n = 6 a6 = 127 =175 .
Проанализировав результат, видим, что элементы при больших значениях n
увеличиваются |
и |
все |
|
они ограничены так, что |
1 < an < 2.Появилось |
|||||||||
предположение, что искомое число А равно 2. |
|
|
|
|
||||||||||
С другой |
стороны, |
an можно тождественно преобразовать |
следующим |
|||||||||||
образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
an = |
2n |
= |
2(n +1)−2 |
= 2 − |
2 |
|
. |
|
|
|
|
|||
|
|
n +1 |
|
|
|
|
||||||||
|
n +1 |
n +1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
Теперь очевидно, что при возрастании номера дробь |
|
уменьшается и при |
||||||||||||
n +1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n → ∞ она стремиться к нулю. В таком случае, при достаточно больших значениях n элементы последовательности приближаются к числу 2, то есть искомый предел
А=2, или lim an = 2 .
n→∞
Докажем, что это действительно так, пользуясь определением 1 предела числовой последовательности.
Число А=2 будет пределом данной последовательности, т.е. lim |
2n |
= 2 , если |
|||||||
|
|
||||||||
для любого ε > 0 |
|
|
|
|
N |
n→∞ n +1 |
|
||
найдется такой номер |
, что для всех |
n > N будет |
|||||||
|
2n |
|
|
(ε) |
|
|
|
|
|
выполняться неравенство |
− 2 |
< ε . |
|
|
|
|
|||
n +1 |
|
|
|
|
1 Детальное обсуждение понятия окрестности – в следующей главе.
4
Вопрос заключается в том, найдется ли номер N(ε), необходимый для выполнения последнего неравенства?
Преобразуем это неравенство следующим образом, учитывая, что n+1>0:
2n |
|
|
2n − 2n − 2 |
|
2 |
|
< ε n +1 > |
2 |
||
− 2 |
< ε |
< ε |
||||||||
n +1 |
n +1 |
n +1 |
ε |
|||||||
|
|
|
|
|
В |
итоге |
получаем |
|
n > |
2 |
|
−1. |
Именно |
для |
таких номеров n |
выполняется |
|||||||||||
|
|
ε |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
неравенство, следующее из определения 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
При |
|
1 |
возьмем N |
|
|
|
Если (0;1), то в качестве номера N(ε) выберем |
|||||||||||||||
целую |
часть числа |
2 |
|
. (В |
частности, если выбрать |
ε = 0,01, то номер |
|||||||||||||||||
|
|
−1 |
|||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
ε≥ |
|
|
ε(ε)=1. |
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
N1 |
= |
|
|
−1 |
=199 , а если ε = 0,03, то |
N2 = |
|
−1 = 65.) |
|
|
|||||||||||||
0,01 |
0,03 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
И теперь видим, что для любого ε > 0 можно найти такой номер N(ε), что для |
||||||||||||||||||||||
всех |
n>N(ε) |
будет |
выполняться |
неравенство |
|
2n |
− 2 |
|
< ε . |
Таким |
образом, из |
||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n +1 |
|
|
|
|
определения 1 для данной последовательности следует, что ее пределом является число А=2.
Угадать значение предела А и аккуратно проверить выполнение определения 1 можно только в тех случаях, когда последовательность задана простейшими формулами. В более сложных примерах применяются правила вычисления пределов, которые подробно рассмотрены в главе 3. Некоторые из этих правил использованы в решении следующего примера.
Пример 4. Выясним, является ли сходящейся последовательность с общим
элементом an = (n +1 − n )n .
Решение. Числовая последовательность является сходящейся, если существует
предел A = lim an .
n→∞
Чтобы вычислить этот предел или убедиться в том, что он не существует, преобразуем an тождественно следующим образом.
lim an = lim( |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
− |
|
|
|
)( |
|
|
|
|
+ |
|
|
) |
|
|
|
|
(n +1−n) |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
n +1 |
|
|
n |
|
|
n +1 |
|
n |
|
n |
|
= lim |
n |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||
n +1 |
n |
|
n |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
n +1 + n ) |
|
|
|
|
|
|
|
n +1 + n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= lim |
|
|
n |
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
n→∞ |
n +1 + n |
|
|
n→∞ |
|
|
1+ |
1 |
|
|
|
n→∞ |
1 |
+ |
1 |
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
т.к. очевидно, что при n → ∞ |
дробь |
1 |
→ 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: данная числовая последовательность сходится к пределу А=1/2.
1.3Число е.
Вычислим (с помощью компьютера или калькулятора) значения
элементов последовательности an = (1+1/ n)n при некоторых n.
5
n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
10 |
11 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
||
an |
2 |
2,25 |
2,37037 |
2,44140 |
|
2,59374 2,60420 2,61303 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
99 |
100 |
365 |
1000 |
10 000 |
|
|
|
an 2,70468 2,70481 2,71456 2,71692 2,71814
Мы видим, что, во-первых, эта последовательность возрастает. Во-вторых, рост постепенно замедляется, и даже при очень больших n элементы последовательности не превосходят числа 2,72.
Можно строго доказать (см., например [Морозова]), что данная последовательность сходится. Ее предел называется эйлеровым числом, или числом е, в честь математика Л.Эйлера (1707-1783).
e = lim(1+1/ n)n = 2,71828...
n→∞
Число е – иррациональное. Мы ограничились пятью цифрами после запятой в его разложении в бесконечную десятичную дробь.
Роль числа е и в математической теории, и в прикладных расчетах колоссальна. Например, рассмотрим процесс роста банковского вклада. Банк устанавливает по вкладам годовую ставку Р% и выплачивает проценты n раз в году. Если начисленные в середине года проценты присоединяются ко вкладу, и на них тоже начисляются проценты (так называемые сложные проценты), то к
концу года первоначальная сумма вклада увеличится в (1+100P n)n раз.
Нетрудно заметить сходство этой формулы с формулой из определения числа е. Позже мы покажем (см. далее пример 25 и
замечание к нему), что lim(1+ |
P |
)n = eP /100 . |
|
100n |
|||
n→∞ |
|
На практике это означает, что при достаточно частых выплатах (например, при ежемесячных, т.е. при n=12) рост вклада за год легко рассчитать умножением первоначальной суммы на , делая при этом очень незначительную ошибку. Дальнейшее увеличение периодичности выплат (банк мог бы выплачивать проценты не ежемесячно, а ежедневно) не приведет к существенному увеличению дохода вкладчика.
Натуральный логарифм. Логарифм числа b>0 по основанию е называется натуральным логарифмом, и для него используется
специальное обозначение2 |
def |
ln b = loge b . |
Задачи для самостоятельной работы.
2 В иностранной математической и в переводной экономической литературе также встречается обозначение log b без указания основания логарифма.
6