Методичка_Пределы (все части)
.pdf
±Решение. 1) Функция заведомо непрерывна всюду, кроме точек склейки а= 2. Для этих точек необходимо дополнительное исследование.
2) Исследуем точку а=2.
A = |
lim |
f (x) = |
lim |
x2 |
= 22 = 4; |
|
|
x→2−0 |
|
x→2−0 |
|
|
|
B = |
lim |
f (x) = |
lim (x + 2) = 2 + 2 |
= 4; |
||
|
x→2+0 |
|
x→2+0 |
|
|
|
f(2)=22=4 (при х=2 в определении f(x) действует верхняя формула!)
На основании теоремы 5 (см. п.4.2.) существует двусторонний
lim f (x) = 4 = f (2), т.е. функция непрерывна в точке а=2.
x→2
Теперь исследуем точку а=-2.
A = |
lim |
f (x) = |
lim (x + 2) = −2 + 2 = 0; |
|
|
x→−2−0 |
|
x→−2−0 |
|
B = |
lim |
f (x) = |
lim x2 |
= (−2)2 = 4. |
|
x→−2+0 |
|
x→−2+0 |
|
Получили, что функция имеет при а=-2 неустранимый разрыв 1-го рода. Значение f(-2) при этом несущественно.
Упражнение. Постройте график функции из примера 58.
Задачи для самостоятельной работы.
Докажите непрерывность функций на основе определений 14. |
|
1) y=c=const; 2) y=cosx; 3) y= |
x (x > 0) . |
Исследуйте точки разрыва |
функций. Постройте эскизы графиков в |
окрестности точек разрыва.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πx |
|
|
|
|
1 |
|
|
arctg x |
|
|
|
1 |
|
|
sin |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
f (x) = |
|
5) f (x) |
6) f (x) = |
|
|
7) f (x) = e |
x2 |
( x−1) |
|||||||
4) |
|
x |
; |
= arctg |
; |
|
|
|
; |
|
|
|||||
|
x2 −3x + |
2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||
8) |
f (x) = |
arccos(1/ x), |
| x |≥1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ln | x |, | |
x |<1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответы.
4)а=0 – устранимый разрыв;
5)а=0 – неустранимый разрыв 1-го рода;
6)а=1 –разрыв 2-го рода, а=2 – устранимый разрыв;
7)а=0 – устранимый разрыв, а=1 –разрыв 2-го рода;
8)а=-1 – неустранимый разрыв 1-го рода, а=0 – разрыв 2-го рода.
5