1.ПРЕДЕЛПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

1.1Понятие числовой последовательности.

Числовая последовательность – это функция натурального аргумента

an = f (n), n N.

Ее графиком на плоскости XOY является множество изолированных точек, абсциссы которых есть натуральные числа n = {1,2,3.....}.

То есть, числовая последовательность представляет собой бесконечное множество чисел, связанных общим законом, который задается общим элементом an .

Пример 1. Дана функция an = (3−n1)−n1n натурального аргумента. Вычислим

несколько первых ее значений.

Решение. Зададим конкретное значение аргумента n и подставим его в выражение an .

и т.д.

Например, при n=10 получим a10 = 1029 .

Последовательности, описываемые простыми правилами, удобно задавать перечислением начальных членов.

Пример 2. Задано несколько элементов числовой последовательности:

a1 = − 12 , a2 = 14 , a3 = −16 .

Найдем выражение общего элемента an как функции аргумента n.

Решение. Легко заметить, что при n=1, 2, 3 an = 21n . Чередование знаков: минус, плюс, минус и т.д. – описывается с помощью множителя (−1)n .

Окончательно получаем ответ: an = (−21n)n .

Запомните, что чередование знаков плюс, минус, плюс и т.д. – описывается с помощью множителя (−1)n+1 . Последовательность четных чисел можно записать как 2n, нечетных – как (2n-1), n N .

1.2 Предел числовой последовательности.

Как ведет себя последовательность при росте n? Следующие три примера показывают, что имеется три принципиально различных типа поведения.

Первый из них: an = nn+2 1 . Вычислим несколько первых элементов этой последовательности и проанализируем, как они изменяются с ростом номера n.

1

похоже на поведение последовательности n-1. Вывод: an → ∞ при n → ∞. (См. рис.1)

Рис.1

Рассмотрим теперь вторую последовательность, где bn = (−1)n . Другими

словами, это: -1, 1, -1, 1, … Последовательность колеблется, оставаясь ограниченной.

c5 = − 52 и т.д.

Очевидно, что чем больше номер n, тем значение cn меньше, и при возрастании n эти значения становятся все ближе к числу 0. (См. рис.2)

2

Вопрос заключается в том, найдется ли номер N(ε), необходимый для выполнения последнего неравенства?

Преобразуем это неравенство следующим образом, учитывая, что n+1>0:

определения 1 для данной последовательности следует, что ее пределом является число А=2.

Угадать значение предела А и аккуратно проверить выполнение определения 1 можно только в тех случаях, когда последовательность задана простейшими формулами. В более сложных примерах применяются правила вычисления пределов, которые подробно рассмотрены в главе 3. Некоторые из этих правил использованы в решении следующего примера.

Пример 4. Выясним, является ли сходящейся последовательность с общим

элементом an = (n +1 − n )n .

Решение. Числовая последовательность является сходящейся, если существует

предел A = lim an .

n→∞

Чтобы вычислить этот предел или убедиться в том, что он не существует, преобразуем an тождественно следующим образом.

Ответ: данная числовая последовательность сходится к пределу А=1/2.

1.3Число е.

Вычислим (с помощью компьютера или калькулятора) значения

элементов последовательности an = (1+1/ n)n при некоторых n.

5

an 2,70468 2,70481 2,71456 2,71692 2,71814

Мы видим, что, во-первых, эта последовательность возрастает. Во-вторых, рост постепенно замедляется, и даже при очень больших n элементы последовательности не превосходят числа 2,72.

Можно строго доказать (см., например [Морозова]), что данная последовательность сходится. Ее предел называется эйлеровым числом, или числом е, в честь математика Л.Эйлера (1707-1783).

e = lim(1+1/ n)n = 2,71828...

n→∞

Число е – иррациональное. Мы ограничились пятью цифрами после запятой в его разложении в бесконечную десятичную дробь.

Роль числа е и в математической теории, и в прикладных расчетах колоссальна. Например, рассмотрим процесс роста банковского вклада. Банк устанавливает по вкладам годовую ставку Р% и выплачивает проценты n раз в году. Если начисленные в середине года проценты присоединяются ко вкладу, и на них тоже начисляются проценты (так называемые сложные проценты), то к

концу года первоначальная сумма вклада увеличится в (1+100P n)n раз.

Нетрудно заметить сходство этой формулы с формулой из определения числа е. Позже мы покажем (см. далее пример 25 и

На практике это означает, что при достаточно частых выплатах (например, при ежемесячных, т.е. при n=12) рост вклада за год легко рассчитать умножением первоначальной суммы на , делая при этом очень незначительную ошибку. Дальнейшее увеличение периодичности выплат (банк мог бы выплачивать проценты не ежемесячно, а ежедневно) не приведет к существенному увеличению дохода вкладчика.

Натуральный логарифм. Логарифм числа b>0 по основанию е называется натуральным логарифмом, и для него используется

Задачи для самостоятельной работы.

2 В иностранной математической и в переводной экономической литературе также встречается обозначение log b без указания основания логарифма.

6

1. Даны несколько первых элементов числовой последовательности. Составьте выражение общего элемента an .

3. Банк выплачивает проценты ежемесячно. Какой должна быть номинальная процентная ставка, чтобы первоначальный вклад увеличился к концу года в С раз?

Отв. P≈100 lnC (приближенно);

P =1200(12C −1) (точно).

ЧАСТЬ 2.ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ.

2.1 Окрестность точки.

Определение 2. Окрестностью точки а радиуса (или δ-окрестностью точки

Рассмотрим на числовой оси ОХ точку с координатой х=а.

а) называетсяδ множество точек оси ОХ, расстояние от которых до данной точки меньше . δ-

Высказывание: «Точка х лежит в окрестности точки а» можно записать с помощью математической символики следующими четырьмя равносильными

1)x −a <δ

2)x Uδ(a)

3)x (a −δ, a +δ),

4)a −δ < x < a +δ ,способами.

7

Определение 3.Окрестностью радиуса δ бесконечно удаленной точки x = ∞, принадлежащей оси ОХ, называется множество точек этой оси, расстояние от которых до началаδ координат больше δ .

Проколотая -окрестность для бесконечно удаленной точки совпадает с непроколотой. Попадание точки х в эту окрестность можно задать одним из

1)x > δ ,∞

2)x Uδ( ),

3)x (−∞,−δ) (δ,+∞),следующих способов.

Как видим из рис.6, бесконечно удаленная точка содержит два варианта, при которых точка x может оказаться в ее окрестности. Это возможно при и при x → +∞.

Аналогичным образом можно рассматривать окрестности точек (в том числе,

записать как lim f (x)= A .

x→a

Поведение всех графиков таково, что чем меньше х отличается от а, тем значение функции ближе к числу А. Однако, поведение функции при х=а не является существенным. Этот факт можно сформулировать следующим образом.

Определение 4.Число A называется пределом функции y = f (x) при x → a ,

если для любого ε > 0 найдется δ > 0 , такое что для всех x , удовлетворяющих условию 0 < x −a <δ , выполняется неравенство f (x)− A < ε .

Другими словами, если аргумент х принадлежит проколотой -окрестности точки а на оси ОХ, то значение функции f(x) принадлежит -окрестности точки A на оси ОУ.

8

Геометрическая иллюстрация определения 4 представлена на рис.10.

Рис.10

Пояснения к рис.10

На оси ОУ строим окрестность точки y = A произвольного радиуса ε . Прямые

любой x (a −δ, a) (a, a +δ), получим значение функции y = f (x), которому будет

соответствовать точка на оси ОУ, обязательно принадлежащая ε -окрестности точки A .

Отметим, что описанный выше способ выбора δ(ε) не является единственно возможным: всегда можно изменить δ(ε) в меньшую сторону. Такой подбор δ «с запасом» иногда позволяет обойти трудности, связанные с точным решением

def

Замечание 1. Все определения предела функции (как уже сформулированное определение 4, так и последующие) состоят из двух частей: внутренней и внешней. Внутренняя часть (синий цвет) описывает поведение аргумента функции, внешняя часть (красный цвет) – поведение значений функции.

9

2.3 Предел функции при x∞.

Если существует число A , которое является пределом функции y = f (x) при x → ∞, то это означает, что чем больше x , тем значения функции меньше

отличаются от этого числа A .

Рассмотрим графическую иллюстрацию такого поведения функции, а затем сформулируем его определение.

Рис.11

Так же как в предыдущем случае построим ε -окрестности точки A на оси ОУ, выбрав ε произвольно. Прямые y = A −ε и y = A +ε пересекают график функции

y = f (x) в точках с абсциссами x = m и x = n . Выбрав наибольшее из чисел m и

n , обозначим его как δ , которое, конечно, зависит от заданного ε . На рис.11 δ(ε)= n .

Таким образом, задав ε , мы нашли соответствующую ему δ -окрестность бесконечно удаленной точки. И теперь, чем значение х ближе к бесконечности, тем меньше f (x)− A (т.е. различие между f(x) и числом A ).

Здесь, как и в предыдущем случае, возможен подборδ «с запасом»; однако, изменения δ допустимы не в меньшую, а в большую сторону.

10