6.1 Основные понятия и обозначения

Мы

уже разобрали

множество примеров,

в которых

раскрытие

0

∞

неопределенностей

и

приводило к различным результатам. Сейчас

0

∞

мы проведем их систематизацию.

Для

начала заметим,

что сравнение двух

величин в

обыденном

Применительно к функциям α(x)

и β(x) , бесконечно малым при x → ,

сравнение – это анализ поведения их отношения

α(x)

при x → . Он

β(x)

может привести к следующим результатам.

1.

lim

α(x)

= 0. В этом случае (х) называется бесконечно малой более

→

β

порядка малости,αчем

высокогоx (x)

(х). Обозначение: (х)=о( (х)). Символ

«о» читается «о-малое от…», его сходство с числом 0, разумеется, не

β

α

β

случайно. Часто для краткости аргументы опускают и пишут просто

=о( ).

2.

αlim

αβ(x)

= ∞. В этом случае (х) называется бесконечно малой более

x→

β(x)

чем (х). Поскольку в этом случае

низкого порядка малости,

α

β(x)

=

1

= 0 , можно записать:

(х)=о(

(х)).

lim→ α(x)

∞

β

β

α

3.

x

α(x)

lim

β(x)

= C, C ≠ 0, C ≠ ∞. В этом случае говорят о бесконечно малых

x→

одного (или одинакового) порядка малости. В частности, при С=1

бесконечно малые называются эквивалентными; это обозначается как

Если С 1, можно использовать обозначение

С

α(x)

=

1

α(x)

= C

=1.

lim

≠

lim

α~

β.Всамом деле,

α~β.

x→ Cβ(x)

C x→ β(x)

C

4.

. limα(x)

не существует. В этом случае бесконечно малые называются

x→

β(x)

II.

Если lim

A(x)

= ∞, то В=о(А). А(х) называется бесконечно большой более

B(x)

x→

высокого порядка роста, чем В(х).

III.

Если lim

A(x)

= C,C ≠ 0,C ≠ ∞, то А СВ. А и В – бесконечно большие

B(x)

x→

роста. В частности, при С=1

одного (или одинакового) порядка~

бесконечно большие эквивалентны: А

В.

IV.

Если

lim

A(x)

несравнимы.

B(x)

не существует, то А и В ~

x→

∞

A1

Контрольный вопрос. Сравните при х

бесконечно большие

x

2

, A2

x, A3

A4

x

с бесконечно большой

(x) =

(x) =

3

(x) = 2012x,

(x) =

(sin x + 2)

B(x) = x .

Подсказка. См. пример 7.

6.2. Эквивалентность и ее применение к вычислению пределов

Теорема 6. Пусть f1(x) g1(x) и f2(x) g2(x).. Тогда lim

g1 (x)

= lim

f1 (x)

(если эти пределы

существуют).

~

x→ g2 (x)

x→ f2 (x)

~

а) lim

x2

;

б) lim

3

x

; в) lim

Cx

, C ≠ 0;

г) lim

x(sin x + 2)

.

x→∞ x +1

x→∞ x +1

x→∞ x +1

x→∞

x +1

Заметим, чтоx2

lim

x +1

=1



∞. Отсюда по правилу 9

x→∞

xx2

, т.е. х+1~х при х

а.

lim

= lim

= ∞;

x

x→∞ x +1

x→∞

б.

lim

3

x

= lim

3

x

= 0;

x

x→∞ x +1

x→∞

в.

lim

Cx

= lim

Cx

= C ;

x→∞ x +1

x→∞

x

г. lim

x(sin x + 2)

не существует. В самом деле, если бы он существовал,

x→∞

x +1

x(sin x + 2)

x(sin x + 2)

x +1

то существовал бы и предел lim

= lim

lim

.

x

x +1

x→∞

x→∞

x→∞

x

Для того, чтобы эффективно применять правило 9, следует знать список

•

Симметричность: Если при х

f

f g, то g

f;

•

Транзитивность: Если при х

g и g h, то f h.

→

~

~

Эти свойства позволят нам выписать несколько эквивалентных друг другу

→

~

~

~

функций в одну строчку. При этом порядок записи не является важным.

Основные эквивалентности при и

0

u

u~tg u

u

arctg u~eu

1

ln(1+u);

1

u

cos u~u2/2;

→

~arcsin ~

− ~

~sin

a−

1

u lna;u

log (1+u)

=ulog

e;

(7)

ln a

−a ~

a

(1+u)p

1~pu (p

k

−1

uk

1+u

Замечание. u может быть как независимой переменной, так и функцией х,

− ~

). В частности,

~ .

2

1−cosu

запись 1−cos u~u

/2 означает то же самое, что и формула limu→0

u21/−2cos=u1

,

1

.

которая после деления на 2 приобретает уже знакомый вид: lim

u

2

=

2

u

→0

Отдельного комментария требует последняя эквивалентность. У этой

формулы не было аналогов в предыдущих разделах.

Утверждение. lim

(1+u) p −1

= p .

u→0

u

Доказательство. Сделаем замену переменной u = et −1

. Тогда

t → 0

(1+u) p −1

(et ) p

−1

e pt −1

t

lim

= lim

= lim

. Заметим, что при t0

e

-1

t, и, кроме

u→0

u

~p

t→0

e

t −

1

t→0

e

t −

1

e pt −1

~

pt

pt

того,

e

-1

t, покольку pt0. По теореме 6 lim

et −1

= lim

= p .

t

t→0

t→0

Использования правила 9 и основных эквивалентностей позволяет во

многих случаях сократить процесс вычисления предела. Покажем это на

примерах 17 и 31, уже решенных ранее.

(С≠0).

Пример 17. Вычислим A

= lim sin Cx

x→0

x

A = lim( tg x

− sin 2x) = lim tg x

−lim sin 2x

= lim

x

−lim

2x

=1− 2 = −1.

x

x→0

x

x

x

x→0

x

x→0 x

x→0

x3 +6x2

(7): A = lim x(3

−1) = lim x(3 1+

6

−1) .

−1~

x3

x

x→∞

x→∞

6

1 6

2

Далее заметим•,2

что

,

поэтому

6

.

Отсюда по

u = x →

0

3 1

+ x

3 x

=

x

правилу 9 A = lim x

= 2 .

x

Ответ. 2.

x→∞

−3

,

Пример

45.

Вычислите

самостоятельно

A = lim

1+ x

1+ 2x

x→0

x

5)

Какой из путей решения менее трудоемок?

(Второй.)

6)

Выполните необходимые преобразования и получите ответ.

−3

−1

3

−1

1+ x

1+ 2x

1+ x

1+ 2x

A = lim

= lim

−lim

=

x

x

x

x→0

x 2

x→0

3

2

x→0

= lim

−lim

2x

=

1

−

= −

1

x

x

2

3

6

x→0

x→0

Ответ. А=−1/6.

1) Для

бесконечно малых

β

(х)=х, если х

0;

•

β

→∞

β(х)=х а,

→

•

если х а;

•

β(х)=1/−х, если х

→

;

(8)

больших

•

β

(х)=1/х, если х

0;

•

→∞

х а;

β(х)=1/( х

а),

→

→

β(х)=х,

−

х

.

•

если

Решение. Следует вычислить lim

sinπx

для разных значений параметра k

(x −1)k

x→1

∞

и выяснить, при каком из них получится не 0 и не

. Замена t = x −1

сводит

задачу к первому замечательному пределу.

Решение.

α=

Перегруппируем формулу, выделив бесконечно малый

множитель:

(х)= cos x x2 Функция f(х)= cos x

непрерывнаx2 .

lim f (x) = f (0)

1. По1+теоремеx .

7 получаем cos1x+xx2

в нуле, поэтому

x→0

1+ x

k=2.

Ответ.

Главная часть: x2

. Порядок малости

~

сформулированная в п. 3.1., может быть уточнена следующим образом.

Теорема 8. При х→

β( х) тогда

(х) является бесконечно малой порядка

и только

тогда,

когда

функция

1

малости

k относительно функция α

α(x)

является бесконечно большой порядка роста k относительно

1

.

β(x)

Пример 49. Вычислим при x → π

: