Методичка_Пределы_4_Сравн_Функц

• lim

f

= lim

x2

= ∞. Таким образом, g(х)=о(f(х)).

x→∞ g

x→∞ x

правило 11 неприменимо.

Пример 53. Покажем что у функции lnx при х→+

нет порядка роста и

главной части.

∞

ln x

∞

Решение. Следуя определению 12,

запишем предел

lim

=

при

k

x→+∞ x

∞

lim

ln x

= lim

(ln x)′

= lim

1/ x

= lim

1

= 0 . Таким обазом

lnx=o(xk) при

xk

(xk )′

x→+∞

x→+∞

x→+∞ kxk −1

x→+∞ kxk

любом k>0.

Пример 54. Вычислите

самостоятельно главную

часть фукции

4

х→+∞, отвечая последовательно на вопросы:

f(х)=

x

при

x3 + 2x +ln x

x1/ 4

1

−

6

1

5 / 4

= x

4

4

=

3 / 2

x

x

1)

lim

1−e2x2

;

arcsin x • ln(1+ x)

x→0

2)

lim(x

2

+ x

3

1

)arctg

;

x→∞

x2

3)

lim(5

32x5

+16x4

−2x);

x→∞

4)

lim(3

x+1

πx

−9) tg

2

;

x→1

5)

3

x5

+sin(x4 )

lim

.

+1)

−2ln x)

x→+∞ x4 (ln(x

2

11)

A(x) = 9x2

+1 − x при х→

∞;

Найти главные части и порядки роста функций.

9

6 −5

−x

при х→∞;

10)

A(x)

= x

+

x +

x

при х→+

x

1 e

∞;

12)

A(x)

=

15x5

+

3x

x

+

arcsin

13)

A(x) =

x

при х→1+0;

x −1

A(x) = sin

3

14)

x

при х→0+ .

16)

e

x

−1

при∞;х

Существуют ли главные части у следующих функций?

15)

α(x) = sin x

при х→

17)

α(x) = cx

(c >1)

при х→- ∞;

18)

x

x

при х→0+ .∞;

A(x) = loga

A(x)

= cx

(c

>1)

→+

Ответы. 1) -2;

2)

; 3) 1/5;

4) -18ln3/ ; 5) 0;

6) –x, k=1; 7)

x

k=1;

∞3

π

2

2

π ln 5

1/ 3

2

8)

2

x

, k=1/3; 9)

x , k=1;

10)

x , k=1/2; 11)

2x , k=1; 12)

5x

, k=2;

2

13)

π

1

14)

1 1/ 6

15)-18) Не существуют.

•

, k=1;

, k=1/6;

2

x −1

x

12