Методичка_Пределы (все части)

1. Даны несколько первых элементов числовой последовательности. Составьте выражение общего элемента an .

3. Банк выплачивает проценты ежемесячно. Какой должна быть номинальная процентная ставка, чтобы первоначальный вклад увеличился к концу года в С раз?

Отв. P≈100 lnC (приближенно);

P =1200(12C −1) (точно).

ЧАСТЬ 2.ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ.

2.1 Окрестность точки.

Определение 2. Окрестностью точки а радиуса (или δ-окрестностью точки

Рассмотрим на числовой оси ОХ точку с координатой х=а.

а) называетсяδ множество точек оси ОХ, расстояние от которых до данной точки меньше . δ-

Высказывание: «Точка х лежит в окрестности точки а» можно записать с помощью математической символики следующими четырьмя равносильными

1)x −a <δ

2)x Uδ(a)

3)x (a −δ, a +δ),

4)a −δ < x < a +δ ,способами.

7

Определение 3.Окрестностью радиуса δ бесконечно удаленной точки x = ∞, принадлежащей оси ОХ, называется множество точек этой оси, расстояние от которых до началаδ координат больше δ .

Проколотая -окрестность для бесконечно удаленной точки совпадает с непроколотой. Попадание точки х в эту окрестность можно задать одним из

1)x > δ ,∞

2)x Uδ( ),

3)x (−∞,−δ) (δ,+∞),следующих способов.

Как видим из рис.6, бесконечно удаленная точка содержит два варианта, при которых точка x может оказаться в ее окрестности. Это возможно при и при x → +∞.

Аналогичным образом можно рассматривать окрестности точек (в том числе,

записать как lim f (x)= A .

x→a

Поведение всех графиков таково, что чем меньше х отличается от а, тем значение функции ближе к числу А. Однако, поведение функции при х=а не является существенным. Этот факт можно сформулировать следующим образом.

Определение 4.Число A называется пределом функции y = f (x) при x → a ,

если для любого ε > 0 найдется δ > 0 , такое что для всех x , удовлетворяющих условию 0 < x −a <δ , выполняется неравенство f (x)− A < ε .

Другими словами, если аргумент х принадлежит проколотой -окрестности точки а на оси ОХ, то значение функции f(x) принадлежит -окрестности точки A на оси ОУ.

8

Геометрическая иллюстрация определения 4 представлена на рис.10.

Рис.10

Пояснения к рис.10

На оси ОУ строим окрестность точки y = A произвольного радиуса ε . Прямые

любой x (a −δ, a) (a, a +δ), получим значение функции y = f (x), которому будет

соответствовать точка на оси ОУ, обязательно принадлежащая ε -окрестности точки A .

Отметим, что описанный выше способ выбора δ(ε) не является единственно возможным: всегда можно изменить δ(ε) в меньшую сторону. Такой подбор δ «с запасом» иногда позволяет обойти трудности, связанные с точным решением

def

Замечание 1. Все определения предела функции (как уже сформулированное определение 4, так и последующие) состоят из двух частей: внутренней и внешней. Внутренняя часть (синий цвет) описывает поведение аргумента функции, внешняя часть (красный цвет) – поведение значений функции.

9

2.3 Предел функции при x∞.

Если существует число A , которое является пределом функции y = f (x) при x → ∞, то это означает, что чем больше x , тем значения функции меньше

отличаются от этого числа A .

Рассмотрим графическую иллюстрацию такого поведения функции, а затем сформулируем его определение.

Рис.11

Так же как в предыдущем случае построим ε -окрестности точки A на оси ОУ, выбрав ε произвольно. Прямые y = A −ε и y = A +ε пересекают график функции

y = f (x) в точках с абсциссами x = m и x = n . Выбрав наибольшее из чисел m и

n , обозначим его как δ , которое, конечно, зависит от заданного ε . На рис.11 δ(ε)= n .

Таким образом, задав ε , мы нашли соответствующую ему δ -окрестность бесконечно удаленной точки. И теперь, чем значение х ближе к бесконечности, тем меньше f (x)− A (т.е. различие между f(x) и числом A ).

Здесь, как и в предыдущем случае, возможен подборδ «с запасом»; однако, изменения δ допустимы не в меньшую, а в большую сторону.

10

Последнее неравенство равносильно неравенству x > ε1 . Теперь очевидно, что

требуемое по определению 5 неравенство будет выполняться, если δ(ε)= ε1 . То

есть соответствующее δ(ε) нашлось.

Так например, если ε1 = 0,1, то δ =10 и при x >10 выполняется неравенство

И какое бы малое ε мы ни выбрали, найдется δ(ε) такое, что для всех x , удовлетворяющих условию x > δ , соответствующие им значения функции y = f (x) будут отличаться от A = 0 меньше, чем на ε , что и требовалось доказать.

Функции, имеющие предел 0, – важнейший частный случай функций, имеющих конечный предел. Такие функции называются бесконечно малыми.

Теорема (о связи функции, ее предела и бесконечно малой). Функция f(x) имеет при данном стремлении аргумента конечный предел А тогда и только тогда, когда она представима в виде суммы f(x)= А+ (x), где (x) – бесконечно малая (при том же самом стремлении аргумента).

аргумента х к а, тем функция все более возрастает (по модулю) и, какое бы большое число мы ни задали, в процессе изменения f (x) его превзойдет.

Рассмотрим графическую иллюстрацию такого поведения функции, а затем сформулируем его определение.

Так как y = f (x) при x → a стремится к бесконечности, зададим сколь угодно большое ε > 0 и отметим его на оси ОУ, построив тем самым ε -окрестность бесконечно удаленной точки на оси ОУ.

11

Учитывая опыт рассмотренных случаев различного поведения функции, сформулируем теперь определение бесконечного предела функции при x → ∞. .

Рассмотрим графическую иллюстрацию такого поведения функции.

Рис.13

Построим график функции y = f (x) и, так как f (x)→ ∞, выберем сколь угодно большое число ε 0 , задав таким образом ε -окрестность бесконечно удаленной

как δ , которое, конечно, зависит от заданного ε . Таким образом, задав ε , мы

13

определение предела функции, которое отражает все рассмотренные случаи

Замечание 3. Существуют функции, вообще не имеющие пределов при данном стремлении – ни конечных, ни бесконечных. Примерами могут служить∞. хорошо известные тригонометрические функции: sinx, cosx, tgx, ctgx – при x

Задачи для самостоятельной работы

В каждом из следующих примеров число 0 или 1 является пределом данной

Напоминание: [z] – целая часть числа z, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее z.

14

3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ

3.1. Некоторые теоремы о пределах и непрерывности.

Все теоремы данного подпункта сформулированы для пределов∞ функций. Однако, теоремы 1, 2 и 4 верны и для последовательностей при n .

Мы ограничимся теоремами, которые позволят нам начать знакомство с техникой вычисления пределов. Разумеется, они не охватывают всего круга теорем о пределах и непрерывности, входящих в курс математического анализа.

Теорема 1. Если при x → функция F(x) - бесконечно большая, то функция

Определение (VIP). Функция непрерывна в точке x = a , если lim f (x)= f (a).

x→a

Теорема 3. Любая элементарная функция непрерывна в каждой внутренней

3.2 Некоторые формулы и приемы элементарной математики, используемые при вычислении пределов.

Формулы сокращенного умножения

А1) a2 −b2 = (a −b)(a +b) ; А2) a3 −b3 = (a −b)(a2 + ab +b2 ) ; А3) a3 +b3 = (a +b)(a2 − ab +b2 ) .

Формулы, содержащие корни

К1) qa p = a p / q ( a > 0, p Z, q N, p / q − несократимая дробь);

К2) x2 = x = x, x ≥ 0 .

− x, x < 0

Другие формулы с корнями сводятся к показательным формулам в силу К1).

Логарифмические≠ формулы. Во всех формулах этого раздела a>0, a 1, b>0.

Л1) aloga b=b. В частности, eln b = b .

1

Остальные логарифмические формулы приведем только для натуральных логарифмов, поскольку все вычисления можно (и рекомендуется) сводить к ним.

Л3) ln1 = 0 .

Л4) ln a −ln b = ln ba .

Л5) k R ln(bk ) = k ln b . В частности, ln b1 = −ln b .

Показательные формулы. Во всех формулах этого раздела a>0.

П1) a−p = a1p .

П2) a p+q = a p aq .

П3) a p−q = a p .

aq

П4) a pq = (a p )q = (aq ) p .

П5) При b > 0 (ab) p = a pb p , (ba) p = ba pp .

П6) a0 =1.

Тригонометрические формулы. В формулах этого раздела k Z .

Т1) tg α = cossinαα , ctgα = cossinαα = tg1α .

Т2) sinπk = tgπk = 0, cosπk = (−1)k . Используя обозначения, принятые при

вычислении пределов, можно также записывать условную формулу ctgπk = ∞ (см. теорему 1).

Т3) Формулы четности и периодичности

г) ctgα −ctg β = sin(β −α) . sinα sin β

2