Методичка_Пределы (все части)

Ответ. Главная часть: x2 . Порядок малости k=2.

Теорема 1 (о связи бесконечно больших и бесконечно малых),

A(x) . В самом деле, мы можем переписать предыдущую эквивалентность,

Ответ. k=1/3.

Переформулируем правило 9 из предыдущего пункта для задач о поиске главной части.

8

Правило 10. Главная часть произведения (частного) двух бесконечно малых или бесконечно больших равна произведению (частному) главных частей исходных функций.

Пример 50. Найдем главную часть функции f(х)= 1−cos35x2 при х→0+.

arcsin x

Решение. Мы не можем сразу определить, является данная функия

препятствует поиску главной части методом эквивалентных преобразований:

В примерах 42, 43 обсуждалась проблема, связанная с вычитанием бесконечно малых. Сейчас мы можем разобраться в этом вопросе более

основательно.

Теорема 9. При х→ (f−g=o(f) f~g ).

Теорема 9 справедлива как для бесконечно больших, так и для бесконечно малых функций.

Контрольный вопрос. Дайте словесную формулировку теоремы 9: а) для бесконечно малых; б) для бесконечно больших. Необходимую терминологию см. в п. 6.1.

Следствие 1. Главная часть разности (или суммы) бесконечно малых с различными порядками малости совпадает с главной частью функции с

различными порядками роста совпадает с главной частью функции с

большим порядком роста.

Например, при х→∞ разность х– х2 ~−х2.

Чтобы не перепутать формулировки следствий 1 и 2, полезно задавать себе проверочный вопрос:

Чему примерно равна разность:1) одной десятой и одной тысячной? 2) десяти и тысячи?

9

Замечание. Если в сумме или разности присутствует слагаемое, которое не является ни бесконечно большим ни бесконечно малым, ему можно условно приписать нулевой порядок.

Решение. Исследуем знаменатель дроби, который является бесконечно большой~ функцией. Очевидно, что для первого слагаемого k1=2. Далее, ln(ex+1) ln(ex)=х, поэтому k2=1. Приписывая синусу k3=0 и используя следствие 2, получаем, что главная часть знаменателя равна 0,01х2. Отсюда немедленно следует ответ.

Ответ. Главная часть: 100x2 . Порядок малости k=2.

Правило 11. Большинство задач анализа бесконечно малых и бесконечно больших можно свести к вычислению главных частей.

Требуется:

а) Определить, являются ли эти функции бесконечно малыми или бесконечно большими.

б) Найти их главные части и порядки малости (роста). в) Сравнить функции f и g.

3) Из результатов пунктов 1) и 2), с учетом теоремы 6, вытекают ответы на все оставшиеся вопросы. А именно:

• функции f и g – бесконечно большие;

Ответ. а) Бесконечно большие; б) f(х)~х2, k1=2; g(х)~ х, k2=1; в) g(х)=о(f(х)).

Замечание. Следует помнить, что не у всех бесконечно больших и бесконечно малых функций имеются главные части. Для таких функций

любом k>0. Раскроем неопределенность по правилу Лопиталя (правило 6):

1)Какого типа функции стоят в числителе и знаменателе? (Бесконечно большие.)

2)Чему равна главная часть числителя? (Самому числителю, т.е. х1/4.)

3)Чему равна главная часть подкоренного выражения в знаменателе? Указание. Используйте результат примера 53 и теорему 9. (х3.)

4)Чему равна главная часть f(х)?

1 5 / 4

Ответ. x .

Задачи для самостоятельной работы

Вычислить пределы, используя основные эквивалентности.

11

Найти главные части и порядки малости функций при х→0.

6)α(x) = 1+1 x −1;

7)α(x) = tg(x + 2 − 2);

8)α(x) = arctg x12 (53 x −1);

9)α(x) = sin(x + π6 ) − 12 .

7.НЕПРЕРЫВНОСТЬИРАЗРЫВЫ

7.1Определения непрерывности и их геометрический смысл.

Основное определение и некоторые свойства непрерывности уже были сформулированы в п. 3.1. Напомним это определение.

Определение (VIP). Функция f(x) непрерывна в точке x = a , если

lim f (x)= f (a).

x→a

Фактически, сопоставление предела и значения функции в одной и той же точке было начато нами еще раньше – при обсуждении рисунков 7, 8, 9.

Рис.7 Рис.8 Рис.9 Интуитивно ясно, что непрерывна только функция на рис. 7. Точнее

говоря, она непрерывна во всех точках области определения. Функции на

∆ →

Формулировка 14б раскрывает суть понятия непрерывности: малые

изменения аргумента приводят к малым изменениям функции.

Пример 55. Докажем, что функция у=х непрерывна в любой точке x=a.

1

Доказательство. Для любого ε > 0 найдется δ = ε , такое что для всех x , удовлетворяющих условию x −a <δ , после замены обозначений получим

неравенство y(x) − y(a) < ε .

=Пример 56. Докажем, что функция у=sinх непрерывна в любой точке

xa.

∆. ∆ Прежде всего, установим зависимость между приращениями у и x:

обосновании первого замечательного предела (а значит, и всех его следствий) используется непрерывность тригонометрических функций.

Никакое доказательство не должно содержать ссылок (прямых или косвенных) на доказываемое утверждение.

Заменив в основном определении двусторонний предел односторонним,

получим определение односторонней непрерывности.

Графики функций, непрерывных слева и справа в точке а, приведены на рисунках 18 и 19 соответственно. (Оба этих рисунка получены из рис.17

путем доопределения f(a).)

Определение 16. Функция называется непрерывной на промежутке,

если она:

1) непрерывна в каждой внутренней точке промежутка;

2

2)односторонне непрерывна в каждой граничной точке, входящей в промежуток.

7.2. Классификация точек разрыва

Определение 17. Точка x=a называется точкой разрыва функции, если эта функция определена в проколотой окрестности точки a, но не является непрерывной в этой точке.

Контрольный вопрос.

Является ли x=0 точкой разрыва для функций: а) lgx; б) tgx; в) сtgx?

Определение 18. Точками разрыва первого рода функции f(x) называют

говорят≠ об устранимом разрыве, а неустранимый разрыв первого рода (где

А В) называют скачком.

Примеры устранимых разрывов приведены на рис. 8 и 9, примеры скачков – на рис. 17, 18, 19.

Определение 19. Точками разрыва второго рода функции f(x) называют такие точки разрыва, в которых хотя бы один из односторонних пределов

Исследование непрерывности и разрывов функции включает в себя:

1)Нахождение точек разрыва.

2)Исследование характера каждой точки разрыва.

Это исследование позволяет построить эскиз графика функции в окрестности точек разрыва в соответствии с геометрической интерпретацией односторонних пределов.

3

Для элементарных функций первая часть исследования делается на основе теоремы 3. Из нее вытекает

Правило 12. Точками разрыва элементарной функции являются точки, выколотые из области определения, и только они.

Вторая часть исследования – поиск односторонних пределов в каждой точке разрыва. Отметим, что такой расчет далеко не всегда связан со сложными вычислениями.

Решение. 1) Сразу видим точку разрыва а=0. Другую точку определяем из уравнения 21/ x −2 = 0. Отсюда а=1.

2) Для а=0

Для а=1 сразу видим, что оба односторонних предела бесконечны. Т.е., здесь мы имеем разрыв 2-го рода.

Чтобы построить эскиз графика, следует учесть знаки А и В. Для этого заметим, что

Эскиз графика в окрестности точек разрыва – синие и фиолетовые линии на рис. 21.

Рис. 21 (Для большей наглядности мы изобразили график целиком.)

Не всегда функция задается одним и тем же правилом (формулой) на всей области определения. Такие функции называются составными. Точки, в которых происходит смена правила, называются точками склейки. В этих точках возможны как сохранение непрерывности, так и ее потеря.

4