Методичка_Пределы (все части)
.pdflog |
|
x |
|
|
|
|
(log |
2 |
x)′ |
|
1 |
|
|
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A = lim |
|
|
2 |
|
= lim |
|
|
= lim |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
(x)′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x→+∞ |
|
x |
|
|
|
x→+∞ |
x→+∞ x log 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ответ. A = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 35. Вычислим |
lim |
2x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→±∞ x2 |
f (x)= 2x |
ведет себя различным образом при |
||||||||||||||
Решение. Заметим, что функция |
||||||||||||||||||||||||||||
x → +∞ и при x → −∞, поэтому вычислим два односторонних предела. |
||||||||||||||||||||||||||||
A = lim 2 |
x |
= |
|
2 |
−∞ |
= |
0 |
|
= 0 |
|
-сразу получили ответ. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2 |
+ ∞ |
∞ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x→−∞ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
||||
|
x |
|
|
|
2 |
+∞ |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 |
x |
|
x |
ln 2 |
|
|
|||
B = lim 2 |
|
= |
|
|
|
= |
|
= (по правилу 6) = lim |
|
) |
= |
lim 2 |
|
= ∞ |
. |
|||||||||||||
2 |
+ ∞ |
|
∞ |
|
|
|
|
2x |
||||||||||||||||||||
x→+∞ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ (x2 )′ |
x→+∞ |
∞ |
|
Опять получили неопределенность, но новое выражение проще исходного, поэтому еще раз применим правило 6.
B = lim |
(2x ln 2)′ |
= lim |
2x ln2 |
2 |
= +∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
(2x)′ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x |
→+∞ |
|
|
|
|
|
|
x |
→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Отв. |
A = 0 , |
B = +∞. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Пример |
|
36. |
|
|
|
|
|
Вычислим, |
|
применяя |
|
правило |
|
Лопиталя-Бернулли, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
cos2 2πx |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
A = lim |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
5x2 +3x +9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x→3 x3 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Решение. Так как при подстановке x = 3 получаемA = 0 |
|
, можно пользоваться |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
правилом 6. И тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2πx |
|
|
|
|
|
|
|
|
2πx |
2πx |
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4πx |
|
|||||||
|
|
|
|
|
cos |
|
|
3 |
|
−1 |
|
|
|
|
− 2cos |
|
3 |
sin 3 |
3 |
0 |
|
|
2π |
|
|
sin |
3 |
|
|||||||||
A = lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
lim |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
= − |
|
|
|
|
|
|
= |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
2 |
− |
10x +3 |
|
3 |
|
2 |
− |
10x +3 |
||||||||||||
|
x→3 (x3 −5x2 +3x +9)′ |
|
x |
→3 |
|
|
0 |
|
|
x→3 3x |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||
− 2π lim |
cos |
4πx |
|
4π |
|
|
= −π 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
6x −10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3 |
|
x→3 |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Правило 6 пришлось применить два раза. Этот предел можно было вычислить, применяя правила 4 и 2, но решение было бы менее рациональное.
Отв. A = −π92 .
ПРАВИЛО 7. Если при вычислении lim f (x) ϕ(x) |
получается |
x→ |
|
неопределенность типа [0 ∞], то можно использовать правило Лопиталя, преобразовав предварительно выражение тождественным образом так, чтобы
23
появилась необходимая для правила дробь: |
f (x) ϕ(x)= |
f (x) |
или |
|
(ϕ(x))−1 |
||||
|
|
|
f (x) ϕ(x)= |
ϕ(x) |
. |
|
(f (x))−1 |
|||
|
|
ПРАВИЛО 8. Если при вычислении предела сложно-показательной функции
A = lim(f (x))ϕ(x) |
получается одна из неопределенностей типа [00 ][, ∞0 ][, 1∞ ], то можно |
||||||
x→ |
|
|
|
|
|
|
|
использовать |
правило |
Лопиталя, |
преобразовав |
предварительно выражение |
|||
тождественным образом так, что |
lim ϕ(x)ln f (x) |
= eB , и вычислив |
B , получить |
||||
A = exx→ |
|
||||||
ответ. |
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. |
Можно |
поступить |
иначе. |
Чтобы |
вычислить |
A = lim(f (x))ϕ(x) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ |
вычислим сначала B = ln A = limln(f |
(x))ϕ(x) = limϕ(x)ln f (x), используя правила 6 или |
||
x→ |
x→ |
||
7. Тогда из полученного результата ln A = B последует ответ A = eB . |
|||
Пример 37. Вычислим, применяя правило Лопиталя-Бернулли, A = lim |
|
ln x . |
|
x |
|||
|
x→+0 |
||
Решение. При подстановке x = 0получаем неопределенность |
A = lim x ln x = [0 ∞].
x→+0
Используем правило 7, следуя которому, преобразуем тождественно данное выражение в дробь.
A = lim ln x |
|
|
|
1 |
|
|
|
= lim (− 2 |
|
)= 0 . |
||||
=(по правилу Лопиталя) |
= lim |
|
x |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x |
||||||||||
|
|
|
3 |
|
||||||||||
x→+0 |
x |
− |
1 |
|
x→+0 |
− |
1 |
x |
− |
|
x→+0 |
|||
2 |
|
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ. A = 0 .
Замечание. Если построить необходимую для правила Лопиталя дробь иначе,
|
|
|
|
|
1 |
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
2 |
|
|
1 lim |
|
ln2 |
|
|
то получим A = lim |
|
x |
= lim |
|
|
= − |
x = [0 ∞] |
|||||||
|
|
|
|
|
x |
|||||||||
x→+0 |
(ln x)−1 |
x→+∞ |
−ln |
−2 |
x |
1 |
|
2 x→+0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
Результат оказался опять неопределенностью и, кроме того, новое выражение сложнее, чем исходное. То есть такое преобразование не позволяет вычислить данный предел.
1 |
|
|
Пример 38. Вычислите A = lim x2e |
|
самостоятельно, отвечая последовательно |
x2 |
||
x→0 |
|
|
на вопросы. |
|
Решение. 1) Что получается при непосредственной подстановке x = 0, ответ или неопределенность? (неопределенность типа [0 ∞])
2) Какое правило можно применить, чтобы избавиться от этой неопределенности? (правило 7)
3) Преобразуйте данное выражение в необходимую для вычисления дробь, вычислите предел по правилу Лопиталя. Если результат получился сложнее исходного выражения, постройте дробь иначе.
24
|
1 |
|
|
|
1 |
′ |
1 |
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|||
( A = lim |
e x |
|
|
= lim |
e x |
|
(x−2 ) |
= lime |
|
= [e+∞ ]= +∞ ). |
||
|
|
|
x2 |
|||||||||
x−2 |
|
|
|
|||||||||
x→0 |
x→0 |
(x−2 )′ |
x→0 |
|
4) Существует ли более короткое решение задачи?
(Да, если сначала сделать замену x12 = t → +∞, а затем применить правило 6.) Пример 39. Вычислим, применяя правило Лопиталя - Бернулли,
1
A = lim(ctgx)log4 x .
x→+0
Решение. При подстановке x = 0получаем неопределенность
1 |
= [∞0 ]. |
|
A = lim(ctgx) |
|
|
log4 x |
||
x→+0 |
|
Используем правило 8, следуя которому, преобразуем тождественно данное выражение следующим образом:
|
|
1 |
|
lim |
ln ctgx |
|
|
|
|
|
|
|
A = lim(ctgx) |
|
= ex→+0 log4 x = eB , где B = lim ln ctgx . |
|
|
||||||||
log4 x |
|
|
||||||||||
x→+0 |
|
|
|
|
|
x→+0 |
log4 x |
|
|
|||
Вычислим B по правилу 6 (Лопиталя): |
|
|
|
|
||||||||
B = lim ln ctgx |
= lim |
|
− x lg 4 |
|
= −ln 4 lim |
|
x |
= 0 |
. |
|||
|
2 |
x |
|
|
|
|||||||
x→+0 log4 x |
|
x→+0 ctgx sin |
x→+0 cos x sin x |
0 |
|
При подстановке x = 0получаем опять неопределенность, но теперь в новом выражении содержится первый замечательный предел (см.(1)). И выделив его, получаем
B = −ln 4 lim |
1 |
|
|
= −ln 4 lim |
1 |
= −ln 4 . |
|
sin x |
|
|
|||
x→+0 |
cos x |
|
x→+0 cos x |
|
||
|
x |
|
|
|
|
Окончательно A = eB = e−ln 4 = 14 . Ответ. A = 14 .
Пример |
40. Вычислите |
A = lim(x2 − 4)sin πx |
самостоятельно, отвечая |
последовательно на вопросы. |
x→2 |
|
|
|
|
||
Решение. |
1) Что получается при непосредственной подстановке x = 2 , ответ |
||
или неопределенность? |
(неопределенность типа [00 ]) |
||
2) Какое правило можно применить, чтобы избавиться от этой |
|||
неопределенности? |
|
(правило8) |
|
3) Преобразуйте данное выражение по выбранному правилу. |
|||
|
( A = lim(x2 − 4)sin πx |
= exp(limsinπx ln(x2 − 4))= eB ) |
|
|
x→2 |
x→2 |
|
4) Что получается при вычислении предела , когда подставляем непосредственно x = 2 ?
(неопределенность типа [0 ∞])
5) Какое правило можно применить, чтобы избавиться от этой неопределенности?
(правило 7)
25
6) Преобразуйте соответствующим образом и вычислите B .
( B = lim ln(x2 − 4) |
= lim |
4sin 2 πx |
= −2limsin 2πx = 0 ) |
x→2 (sinπx)−1 |
x→2 |
−π 2x |
x→2 |
7) Дайте окончательный ответ, чему равен предел A .
( A = eB = e0 =1)
Задачи для самостоятельной работы. Вычислите следующие пределы.
1) |
A = lim |
ex |
, B |
= lim |
ex |
|
, 2) A = lim x2 |
|
log2 |
x , 3) A = lim(x − 2)tg |
πx , |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x→−∞ x4 |
|
|
x→+∞ x4 |
|
x |
→+0 |
|
|
|
|
|
|
|
x→2 |
4 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xπ |
|
|
|
1 |
|
1/ ln x |
|
|
|
|
|
||||
4) |
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||
A = lim(ctgπx) |
2 , 5) |
A = lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
x→+∞ x |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответы. 1) A = 0, B = +∞, 2) 0 , 3) − |
|
, 4) e , 5) e−1/ 3 . |
|
|||||||||||||||||
π |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26
Сравнение бесконечно малых
(бесконечно больших)
6.1 Основные понятия и обозначения |
|
|
||||
Мы |
уже разобрали |
|
множество примеров, |
в которых |
раскрытие |
|
|
0 |
|
|
∞ |
|
|
неопределенностей |
и |
|
приводило к различным результатам. Сейчас |
|||
|
0 |
|
|
∞ |
|
|
мы проведем их систематизацию. |
|
|
||||
Для |
начала заметим, |
|
что сравнение двух |
величин в |
обыденном |
понимании («Делает из мухи слона!») – это не только выяснение, что больше, а что меньше. Важно и то, каков масштаб различий.
|
Применительно к функциям α(x) |
и β(x) , бесконечно малым при x → , |
|||||||||||||||||||||||
сравнение – это анализ поведения их отношения |
α(x) |
|
при x → . Он |
||||||||||||||||||||||
β(x) |
|||||||||||||||||||||||||
может привести к следующим результатам. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1. |
lim |
α(x) |
= 0. В этом случае (х) называется бесконечно малой более |
||||||||||||||||||||||
|
→ |
β |
порядка малости,αчем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
высокогоx (x) |
|
(х). Обозначение: (х)=о( (х)). Символ |
||||||||||||||||||||||
|
«о» читается «о-малое от…», его сходство с числом 0, разумеется, не |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
α |
|
β |
|||
|
случайно. Часто для краткости аргументы опускают и пишут просто |
||||||||||||||||||||||||
|
=о( ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. |
αlim |
αβ(x) |
= ∞. В этом случае (х) называется бесконечно малой более |
||||||||||||||||||||||
|
x→ |
β(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чем (х). Поскольку в этом случае |
||||||||||||
|
низкого порядка малости, |
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
β(x) |
|
= |
|
1 |
|
= 0 , можно записать: |
(х)=о( |
(х)). |
|
|
|
|
|||||||||||
|
lim→ α(x) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
β |
|
β |
α |
|
|
|
|
|||||||||
3. |
x |
α(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
lim |
β(x) |
= C, C ≠ 0, C ≠ ∞. В этом случае говорят о бесконечно малых |
|||||||||||||||||||||||
|
x→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
одного (или одинакового) порядка малости. В частности, при С=1 |
||||||||||||||||||||||||
|
бесконечно малые называются эквивалентными; это обозначается как |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Если С 1, можно использовать обозначение |
|
|
С |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
α(x) |
|
|
= |
1 |
|
|
α(x) |
= C |
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
≠ |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
α~ |
|
β.Всамом деле, |
||||
|
α~β. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→ Cβ(x) |
|
|
C x→ β(x) |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4. |
. limα(x) |
не существует. В этом случае бесконечно малые называются |
|||||||||||||||||||||||
|
x→ |
β(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
несравнимыми. Поскольку этот случай встречается редко, специального обозначения для него нет.
Аналогично1 можно провести сравнение бесконечно больших
A(x)иB(x)приx → .
1 Обратите внимание на различие в названиях первого и второго случаев для бесконечно больших и для бесконечно малых.
1
I. Если lim A(x) = 0 , то А=о(В). А(х) называется бесконечно большой более
x→ B(x)
низкого порядка роста, чем В(х).
II. |
Если lim |
A(x) |
|
= ∞, то В=о(А). А(х) называется бесконечно большой более |
|||||||||||||||||||||
B(x) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
высокого порядка роста, чем В(х). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
III. |
Если lim |
|
A(x) |
|
|
= C,C ≠ 0,C ≠ ∞, то А СВ. А и В – бесконечно большие |
|||||||||||||||||||
|
B(x) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
роста. В частности, при С=1 |
||||||||||||
|
одного (или одинакового) порядка~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
бесконечно большие эквивалентны: А |
В. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
IV. |
Если |
|
lim |
A(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
несравнимы. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
B(x) |
|
не существует, то А и В ~ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
x→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|||
A1 |
Контрольный вопрос. Сравните при х |
бесконечно большие |
|||||||||||||||||||||||
|
x |
2 |
, A2 |
|
|
|
|
|
|
x, A3 |
|
A4 |
|
x |
|
|
с бесконечно большой |
||||||||
|
(x) = |
|
|
(x) = |
3 |
|
|
(x) = 2012x, |
|
(x) = |
|
(sin x + 2) |
|
|
|
|
|
||||||||
B(x) = x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Подсказка. См. пример 7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
6.2. Эквивалентность и ее применение к вычислению пределов |
||||||||||||||||||||||||
|
Теорема 6. Пусть f1(x) g1(x) и f2(x) g2(x).. Тогда lim |
g1 (x) |
= lim |
f1 (x) |
|
||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
(если эти пределы |
существуют). |
|
~ |
|
|
|
|
x→ g2 (x) |
x→ f2 (x) |
||||||||||||||||
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из этой теоремы вытекает ПРАВИЛО 9. Чтобы вычислить предел, содержащий неопределенность
0 , ∞ или [0 •∞] следует заменить исходные выражения эквивалентными
0 ∞
им степенными функциями. Затем провести необходимые сокращения и вычислить предел.2
Пример 7 (продолжение). Вычислим пределы:
а) lim |
x2 |
; б) lim |
3 |
|
x |
|
; в) lim |
Cx |
|
, C ≠ 0; |
г) lim |
x(sin x + 2) |
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x→∞ x +1 |
|
|
|
x→∞ x +1 |
|
x→∞ x +1 |
|
x→∞ |
x +1 |
|||||||||||||||||||||||
Заметим, чтоx2 |
|
lim |
x +1 |
=1 |
|
|
|
|
|
∞. Отсюда по правилу 9 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x→∞ |
xx2 |
|
|
|
|
|
, т.е. х+1~х при х |
||||||||||||||||||||||||
|
а. |
lim |
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
= ∞; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
x→∞ x +1 |
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
б. |
lim |
3 |
x |
|
|
|
= lim |
3 |
x |
|
= 0; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
x→∞ x +1 |
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
в. |
lim |
Cx |
|
= lim |
Cx |
|
|
|
= C ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
x→∞ x +1 |
|
|
x→∞ |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 Теорема 6 справедлива как для бесконечно больших, так и для бесконечно малых функций. Правило 9 применимо к формулам, содержащим и то, и другое.
2
г. lim |
x(sin x + 2) |
не существует. В самом деле, если бы он существовал, |
|||||||
|
|||||||||
x→∞ |
x +1 |
x(sin x + 2) |
|
x(sin x + 2) |
|
x +1 |
|
||
то существовал бы и предел lim |
= lim |
lim |
. |
||||||
x |
x +1 |
|
|||||||
|
|
x→∞ |
x→∞ |
x→∞ |
x |
||||
Для того, чтобы эффективно применять правило 9, следует знать список |
основных эквивалентностей. Прежде чем выписать его, укажем два довольно очевидных свойства эквивалентных функций.
• |
Симметричность: Если при х |
f |
f g, то g |
f; |
• |
Транзитивность: Если при х |
g и g h, то f h. |
||
|
|
→ |
~ |
~ |
Эти свойства позволят нам выписать несколько эквивалентных друг другу |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
~ |
~ |
~ |
|
функций в одну строчку. При этом порядок записи не является важным. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Основные эквивалентности при и |
|
0 |
|
|
|
|
||||||||||||||
u |
|
|
u~tg u |
|
|
u |
arctg u~eu |
|
1 |
|
|
ln(1+u); |
|
|
||||||
1 |
u |
|
cos u~u2/2; |
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
~arcsin ~ |
|
− ~ |
|
|
|
|
|
|||||||
|
~sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
a− |
1 |
|
u lna;u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
log (1+u) |
|
|
=ulog |
e; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7) |
||||||
ln a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
−a ~ |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(1+u)p |
|
1~pu (p |
|
|
|
|
k |
|
−1 |
uk |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1+u |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
Замечание. u может быть как независимой переменной, так и функцией х, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
− ~ |
|
|
|
). В частности, |
|
|
|
|
|
~ . |
|
|
такой что limu(x) = 0 .
x→
Большая часть формул (7) – переформулировка на новом языке уже известных следствий первого и второго замечательных пределов. Например,
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−cosu |
|
|
|
|||
запись 1−cos u~u |
/2 означает то же самое, что и формула limu→0 |
u21/−2cos=u1 |
, |
1 |
. |
||||||||||||||||||||||||||
которая после деления на 2 приобретает уже знакомый вид: lim |
u |
2 |
= |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
→0 |
|
|
|
||
|
Отдельного комментария требует последняя эквивалентность. У этой |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
формулы не было аналогов в предыдущих разделах. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Утверждение. lim |
(1+u) p −1 |
= p . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u→0 |
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Доказательство. Сделаем замену переменной u = et −1 |
. Тогда |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t → 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1+u) p −1 |
|
|
(et ) p |
−1 |
|
e pt −1 |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
. Заметим, что при t0 |
e |
-1 |
t, и, кроме |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
u→0 |
|
u |
|
~p |
t→0 |
|
e |
t − |
1 |
|
t→0 |
e |
t − |
1 |
|
e pt −1 |
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
pt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pt |
|
|
|
|
|
|||||||||||
того, |
e |
-1 |
|
|
t, покольку pt0. По теореме 6 lim |
et −1 |
= lim |
|
|
= p . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
t |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t→0 |
t→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Использования правила 9 и основных эквивалентностей позволяет во |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
многих случаях сократить процесс вычисления предела. Покажем это на |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
примерах 17 и 31, уже решенных ранее. |
(С≠0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Пример 17. Вычислим A |
= lim sin Cx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3
Решение. Поскольку u = Cx → 0,
A = lim
x→0
то sinCx~Cx. Значит,
sin Cx |
= lim Cx |
= C . |
x |
x→0 x |
|
Пример 31. |
Вычислим A = lim |
e |
5x −ex |
|
. |
|
log5 |
(x +5)−1 |
|||||
|
x→0 |
|
Решение. Сразу применить основные эквивалентности нельзя. Выполним те же самые преобразования, что и в первом способе решения:
A = lim |
e5x −ex |
|
= lim |
ex (e |
4x −1) |
= lime |
x |
lim |
e4x −1 |
|
=1 |
0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
log5 (x +5)−log5 |
5 |
|
|
|
5 + x |
|
|
|
|
|
x |
|
0 |
||||||||
x→0 |
x→0 |
log |
|
|
x→0 |
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
log |
5 |
1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее воспользуемся правилом 9, полагая в числителе u = 4x , а в знаменателе
u = |
x |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5 |
|
|
|
4x |
|
|
20 |
|
|
A = lim |
|
|
|
= |
= 20ln 5 . |
||||
|
x |
|
|
log5 e |
|||||
|
x→0 |
log5 |
e |
|
|||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
5 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отметим, что применять правило 9 (как и другие правила) следует аккуратно. Иногда желание получить быстрое решение приводит к ошибкам.
Пример 41. Вычислим lim tgπx .
x→1 sin 3πx
Решение. |
Имеем |
неопределенность 0 |
. Однако, здесь нельзя сразу |
||
|
|
|
0 |
|
|
применить основные эквивалентности, т.к. πх |
|
π, а не к 0. |
|||
Поэтому |
прежде |
всего сделаем |
замену переменной и=х–1, потом |
||
|
→ |
|
воспользуемся формулами приведения. Только после этого появится возможность применить правило 9.
lim |
tgπx |
|
= lim |
tgπ(u +1) |
= lim |
tg(πu +π) |
|
= lim |
tgπu |
= −lim |
πu |
= −1 . |
||||||||||
sin 3πx |
sin 3π(u +1) |
sin(3πu +3π) |
−sin 3πu |
3πu |
||||||||||||||||||
x→1 |
u→0 |
u→0 |
u |
→0 |
u→0 |
3 |
||||||||||||||||
Ответ. -1/3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 42. Вычислим lim tg 2x −sin 2x . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. |
Несмотря на то, |
что при х |
0 |
справедливы эквивалентности |
||||||||||||||||||
−sin |
|
|
|
|
|
|
− |
≡ |
(2x)2 |
|
|
|
|
|
||||||||
tg2x |
2x 2x |
немедленное использование→правила 9 невозможно! Разность |
||||||||||||||||||||
tg2x~sin2x~не, |
эквивалентна 2х 2х 0. Следует начать с преобразования |
|||||||||||||||||||||
разности в произведение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
lim |
tg 2x −sin 2x |
|
= lim |
tg 2x(1−cos 2x) |
= lim |
2x • |
|
|
2 |
= 4 . |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x→0 |
x3 |
|
|
|
x→0 |
x3 |
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ. 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 43. Вычислим A = lim tg x −sin 2x . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ. А=-1.
4
Решение. Пример по виду похож на предыдущий. Но здесь выкладка
A = lim x −2x = −1 не приводит к ошибке. Дело в том, что в этом примере
x→0 x
возможно почленное деление:
A = lim( tg x |
− sin 2x) = lim tg x |
−lim sin 2x |
= lim |
x |
−lim |
2x |
=1− 2 = −1. |
|||
|
x |
|||||||||
x→0 |
x |
x |
x |
x→0 |
x |
x→0 x |
x→0 |
|
x→0
В предыдущем примере почленное деление приводило к неопределенности [∞ −∞].
Вывод. Если формула содержит операции сложения и вычитания, применять эквивалентность следует только тогда, когда вы можете четко обосновать свои действия. Категорически запрещается заменять разность
эквивалентных функций тождественным нулем!
Пример 44. Вычислим A = lim(3 x3 +6x2 − x) .
x→∞
Решение. Имеем неопределенность типа [∞ −∞]. Преобразуем разность в произведение так, чтобы стало возможным применение последней из формул
|
|
x3 +6x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(7): A = lim x(3 |
|
|
−1) = lim x(3 1+ |
6 |
−1) . |
|
|
|
|
−1~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x3 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 6 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Далее заметим•,2 |
|
что |
|
|
, |
поэтому |
|
|
6 |
|
. |
Отсюда по |
||||||||||||||
|
u = x → |
0 |
3 1 |
+ x |
3 x |
= |
|
|
||||||||||||||||||
|
x |
|||||||||||||||||||||||||
правилу 9 A = lim x |
|
|
= 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответ. 2. |
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3 |
|
|
, |
||||||||||
Пример |
45. |
|
|
|
Вычислите |
|
|
самостоятельно |
|
A = lim |
|
1+ x |
1+ 2x |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
x |
последовательно отвечая на вопросы.
1)Какого типа неопределенность? ( 0 )
0
2)Какая из формул (7) наиболее похожа на формулу в числителе? (Последняя.)
3)Можно ли применить эту формулу немедленно? Если нет, что этому мешает? (Нельзя. Мешает отсутствие вычитаемого,
равного 1.)
4) Какими способами можно устранить затруднение? (Таких способов два:
a.Вынести 31+ 2x за скобку;
b.Прибавить и вычесть 1 в числителе, а затем рассмотреть разность двух пределов.)
5) |
Какой из путей решения менее трудоемок? |
(Второй.) |
6) |
Выполните необходимые преобразования и получите ответ. |
5
|
|
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
3 |
|
−1 |
|
||||||||
|
|
1+ x |
1+ 2x |
|
|
|
|
1+ x |
|
1+ 2x |
|||||||||||||||
A = lim |
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
−lim |
|
|
|
|
= |
|||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
||||||||||
|
x→0 |
|
x 2 |
|
|
x→0 |
3 |
|
|
2 |
x→0 |
|
|||||||||||||
|
|
|
= lim |
|
−lim |
2x |
= |
1 |
− |
= − |
1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x |
x |
|
|
2 |
3 |
6 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
x→0 |
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ответ. А=−1/6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.3. Порядки малости и роста. Главные части.
Можно ли придать понятию «более высокий порядок малости/роста»
количественное выражение? Во многих случаях ответ на этот вопрос – положительный.
Определение 12. Пусть α(х) и β(х) – бесконечно малые при x → . α(х)
называется бесконечноβ малой k-го порядка малости (или порядка малости
k) относительно (х), если lim α(xx) k = C (C ≠ 0;∞) .
x→ (β( ))
Точно так же формулируется определение k-го порядка роста для бесконечно больших.
Контрольный вопрос. Докажите, что в этих случаях α(х)~С(β(х))k.
Отметим, что порядок малости или роста (если он определен) может быть любым числом.
В качестве (х) обычно используют простейшие степенные функции:
1) Для |
бесконечно малых |
|
|
|
|
||||||||||
β |
(х)=х, если х |
|
0; |
|
|
|
|
|
|||||||
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|||
|
|
β(х)=х а, |
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|||
• |
|
|
|
|
если х а; |
|
|
||||||||
• |
|
β(х)=1/−х, если х |
|
→ |
; |
|
(8) |
||||||||
|
|
|
|
|
больших |
|
|
||||||||
• |
|
β |
(х)=1/х, если х |
|
0; |
|
|
|
|||||||
• |
|
|
|
|
|
|
→∞ |
|
х а; |
|
|||||
|
|
β(х)=1/( х |
|
а), |
→ |
|
|
→ |
|
||||||
|
|
β(х)=х, |
− |
|
х |
|
|
|
|
. |
|
|
|||
• |
|
|
|
если |
|
|
|
|
|
|
|
|
Подчеркнутые случаи являются самыми важными. Остальные случаи сводятся к ним с помощью замен переменных.
β Пример− 46.→Найдем порядок малости функции α(х)=sinπx относительно
(х)=х 1 при х 1.
Решение. Следует вычислить lim |
sinπx |
для разных значений параметра k |
||||
(x −1)k |
||||||
x→1 |
|
∞ |
|
|
||
и выяснить, при каком из них получится не 0 и не |
. Замена t = x −1 |
сводит |
||||
задачу к первому замечательному пределу. |
|
|