- •§ 33. Эргодическая гипотеза.
- •§ 34. Распределение Гиббса.
- •§ 35. Идеальный газ. Статистическое уравнение идеального газа.
- •§ 36. Распределение газовых молекул по энергии и скоростям (распределение Максвелла).
- •§ 37. Опытное определение скорости молекул.
- •§ 38. Распределение Больцмана. Барометрическая формула.
- •§ 39. Макроскопические системы в состоянии равновесия. Энергия системы.
- •§ 40. Энтропия. Закон возрастания энтропии.
- •§ 41. Теорема Нернста (третье начало термодинамики).
- •§ 42. Флуктуации. Распределение Гаусса. Влияние флуктуаций на предельную погрешность измерительных приборов.
- •Тема 7. Явления переноса.
- •§ 55. Диффузия.
- •§ 56. Теплопроводность.
- •§ 57. Внутреннее трение.
§ 38. Распределение Больцмана. Барометрическая формула.
Рассмотрим модель идеального газа. Применим к частице идеального газа каноническое распределение Гиббса в форме
(38.1)
Поставим задачей найти вероятность обнаружения частицы в присутствии внешнего потенциального поля в любом микросостоянии с импульсами в интервалах рхрх + dрх; руру+ dру ; pzpz + dpz ; и с координатами в интервалах х х + dх ; у у + dу; z z+ dz ; Тогда распределение (38.1) сводится к виду
(38.2)
здесь = (рх,ру,рz, х,у,z) есть сумма кинетической энергии поступательного движения и потенциальной энергии частицы; = к(рх,ру,рz) + п (х,у,z); к = (рх2 + ру2 + рz2)/2m ; потенциальная энергия ,предполагается определенной в каждой точке пространства с радиус-вектором r = xex + уeу + zez. Коэффициент с находится из условия нормировки.
Распределение (38.2) называют распределением Больцмана или, иногда, распределением Максвелла-Больцмана. Последнее название связано с тем, что распределение (38.2) можно представить в виде произведений двух множителей
(38.3)
где
(38.4)
Выражение (38.4) - одна из форм записи уравнений Максвелла. Если п = 0 во всех точках пространства, то распределение (38.2) переходит в распределение Максвелла. Второй множитель
(38.5)
описывает вероятность обнаружения частицы в элементарном объеме dV = dxdуdz в окрестностях точки с координатойr где потенциальная энергия составляет п(r). Если плотность частиц в состоянии с нулевой потенциальной энергией (п = 0) есть nо(0), то в объеме dV в среднем будет находится
(38.6)
частиц.
Локальная плотность частиц в состояниях с энергией п составит
(38.7)
Это выражение носит название формулы Больцмана; оно справедливо для потенциальных полей любой физической природы. На рисунке показаны зависимости плотности распределения no(п) от энергии п для двух температур.
Формула Больцмана как распределение частиц по потенциальным энергиям отражает единство двух противоположностей. Под действием сил потенциального поля F = gradп частицы стремятся в состояние с минимальной энергией (принцип Ле-Шателье), но этому препятствует тепловое движение молекул, устанавливающее равновесие. Поэтому формула Больцмана, как и Максвелла, отражает подвижное, динамическое равновесие; оценки средних с использованием этих соотношений имеют среднестатистический, вероятностный характер.
Частным видом потенциального поля является поле силы тяжести, для него п(h)= mgh (h - высота над уровнем моря). Подставляя п(h) в (40.7) , сразу находим плотность распределения молекул воздуха по высоте.
(38.8)
Здесь nо(0) - плотность молекул при h = 0, т.е. на уровне моря. От ( 38.8) сразу перейдем к давлению р(h) = no(h)kT , т.е. к барометрической формуле
(38.9)
Давление газа в поле силы тяжести меняется по экспоненциальному закону в зависимости от высоты и уменьшается в e раз при поднятии на характеристическую высоту ho = kT/mg (для атмосферы Земли hо 10 км). Барометрическая формула в реальных условиях дает приближенный результат: она не учитывает зависимости температуры воздуха и ускорения от высоты.