§ 36. Распределение газовых молекул по энергии и скоростям (распределение Максвелла).
Ограничимся моделью классического идеального газа; дискретностью энергетических состояний газа, следовательно, пренебрегаем. Слабое взаимодействие между молекулами
( их считаем одинаковыми) в идеальном газе позволяет рассматривать каждую молекулу как подсистему, слабо связанную с остальной частью системы (т.е. с другими молекулами), и применить к одной молекуле классическое распределение Гиббса
( 36.1 )
Под энергией в этом выражении надо понимать теперь энергию одной частицы. Для вычисления статистичеcкого интеграла
(36.2)
необходима функция плотности микросостояний свободной молекулы, которую примем здесь без вывода:
(36.3)
где V - объем газа, h - постоянная Планка. Тогда статистический интеграл (36.2) равен
(36.4)
Подставляя (36.3) и (36.4) в (36.1) , получим
(36.5)
Это выражение описывает вероятность обнаружения молекулы идеального газа с энергией , d.
Частицы идеального одноатомного газа обладают энергией только поступательного движения
c учетом чего из (36.5) получаем вероятность обнаружить молекулы со скоростью V, V+dV:
(36.6)
Выражения (36.5) и (36.6) есть различные формы распределения Максвелла. Поскольку вероятность есть отношение числа частиц с определенными свойствами (энергией, скоростью) к полному числу N частиц в газе, например,
можно теперь найти число частиц dN, обладающих заданным свойством, а из него - плотность распределения частиц по определенному свойству. Например, плотность распределения молекул по скоростям, т.е. число молекул, обладающих скоростью V в единичном интервале скоростей в окрестностях данной V
(38.7)
График этой функции показан на рисунке. У функции имеется максимум при скорости Vв, называемой наиболее вероятной скоростьюи определяемой из условия равенства нулю первой производной
(36.8)
V VвVсрVквV V
Левая относительно Vв часть распределения Максвелла описывает “холодные” молекулы, а правая - “горячие”, активные частицы, обладающие большей скоростью и энергией.
Число молекул, обладающих скоростями от V до V + dV, равно dN(V) = n(V)dV и представляется площадью заштрихованного прямоугольника. Тогда число молекул в системе равно
т.е. равно площади под кривой n(V).
При изменении внешних параметров распределение трансформируется, но так, чтобы площадь под ними оставалась постоянной. На рисунке представлены кривые распределения Максвелла для трех температур T1 T2 T3 . С помощью распределения Максвелла можно определить средние молекулярно-кинетические параметры идеального газа.
§ 37. Опытное определение скорости молекул.
Первое экспериментальное определение скоростей молекул было осуществлено Штерном в 1920 г. Прибор, использованный для этих целей, состоял из двух коаксиальных цилиндров. По оси прибора была натянута платиновая нить, покрытая серебром.
При нагревании нити электрическим током с ее поверхности испарялись атомы серебра. Скорости испарившихся атомов соответствовали температуре нити. Внутренний цилиндр имел узкую продольную щель, через которую проходил наружу узкий пучок атомов (молекулярный пучок). Прибор был откачен (чтобы атомы серебра не сталкивались с молекулами воздуха). Достигнув поверхности внешнего цилиндра, атомы серебра оседали на ней образуя слой в виде узкой вертикальной полоски. Если привести весь прибор во вращение, след, оставленный молекулярным пучком, сместится по поверхности внешнего цилиндра на некоторую величину S
t - время пролета между цилиндрами. Поскольку радиус внутреннего цилиндра мал по сравнению с R , t = R/V, где V - скорость атомов серебра. Следовательно ,
Измерив S и , можно найти скорость атомов серебра. Однако этот опыт оказался не очень точным, т.к. профиль распределения оказался размытым из-за вращения.
Более точно закон распределения был проверен в опыте Ламмерта (1929 г., в котором молекулярный пучок пропускался через два вращающихся диска с радиальными щелями, смещенными друг относительно друга на некоторый угол . Результаты опыта Ламмерта и других опытов, предпринимавшихся с той же целью, находятся в полном соответствии с законом распределения Максвелла.
